ProjectEuler做题笔记（第1，2题）

第一题：找出1000内能被3或5整除的所有数的总和。

第一反应是，循环，判断是否能被3或5整除，能的话就加到一个变量中，代码如下：

static void p1_1()
{
    int max = 1000;
    int sum = 0;
    for (int i = 1; i < max; i++) 
    {
        if (i % 3==0 || i % 5==0) 
        {
            sum += i;
        } 
    }
    Console.WriteLine(sum);
}

接着考虑到%取模运算比较消耗性能，便另想办法。其实就是把3的倍数都加起来，把5的倍数

也都加起来，两者相加再减去15的倍数之和，代码如下：

static void p1_2()
{
    int max = 1000;
    int sum = 0;
    for (int i = 3; i < max; i += 3)
    {
        sum += i;
    }
    for (int i = 5; i < max; i += 5)
    {
        sum += i;
    }
    for (int i = 15; i < max; i += 15)
    {
        sum -= i;
    }
    Console.WriteLine(sum);
}

经测试，当计算1000000内的结果时，方法二比方法一要快将近10倍，数据量越大差距越明显。

当然最逆天的算法是用等差数列求和，3+6+9+。。。。+999+5+10+15+。。。。+995-15-30-....-990

大致浏览了下官方答案和老外的留言，没有特别的解法。

最后答案是233168

第二题:计算斐波那契数列不超过400万的数中，所有偶数的总和。

斐波那契数列就是1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144。。。。。每项等于前2项之和。

首先想到的是用递推，将值都存到数组中，同时将偶数累加到一个变量，代码如下：

static void p2_1()
{
    int sum = 0;
    List<int> list = new List<int>(20000);
    list.Add(1);
    list.Add(2);
    sum += 2;
    while (true)
    {
        //每次将最后两项相加最为新项
    int n = list[list.Count - 1] + list[list.Count - 2];
        //大于400万就跳出死循环
    if (n > 4000000)
        {
            break;
        }
        list.Add(n);
        //是偶数就累加
    if (n % 2 == 0)
        {
            sum += n;
        }
    }
    Console.WriteLine(sum);
}

官方给出的第一种解法没有用数组，只存储最后2项，效率提高不少，代码如下：

static void p2_2()
{
    int sum = 0;
    int a = 1, b = 2;
    sum += 2;
    while (b<4000000)
    {
        int c = a + b;
        a = b;
        b = c;
        if (c % 2 == 0) 
        {
            sum += c;
        }
    }
    Console.WriteLine(sum);
}

同事提出的一种算法是：观察该数列可以得到

1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144

奇偶奇奇偶奇奇偶奇奇偶

除了1与2，后面的数都是奇奇偶，这不难证明，因为奇+偶=奇，奇+奇+偶

于是3以后的所有偶数之和等于3以后所有数（最后一个数也要是偶数）之和除以2

比如：8+34+144=(3+5+8+13+21+34+55+89+144)/2

结合方法2，可以省掉循环中取模的操作，提高一点效率，代码如下：

static void p2_3()
{
    int sum = 0;
    int a = 1, b = 2;
    while (b < 4000000)
    {
        int c = a + b;
        a = b;
        b = c;
        sum += c;
    }
    //最后2个数如果是奇数，要去掉
    if (a % 2 == 1) 
    {
        sum -= a;
    }
    if (b % 2 == 1)
    {
        sum -= b;
    }
    //除以2以后还要加上最开始被跳过去的2
    sum = sum / 2 + 2;
    Console.WriteLine(sum);
}

通过方法3，知道了奇奇偶奇奇偶的规律，我们把所有偶数看成一个新的数列，找找它的递推公式。

2 8 34 144.。。分别是原数列的第1 4 7 10项（从0开始算），

记原数列为A(n), A(n)=A(n-1)+A(n-2)

那么新数列B(n)=A(3n+1)=A(3n)+A(3n-1)=A(3n-1)+A(3n-2)+A(3n-2)+A(3n-3)=

A(3n-2)+A(3n-3)+2A(3n-2)+A(3n-4)+A(3n-5)=

3A(3n-2)+A(3n-3)+A(3n-4)+A(3n-5)=

4A(3n-2)+A(3n-5)=

4A(3(n-1)+1)+A(3(n-2)+1)=

4B(n-1)+B(n-2)

公式出来了，接下来就是循环相加了，代码如下：

static void p2_4()
{
    int sum = 0;
    int a = 2, b = 8;
    sum = a;
    while (b < 4000000)
    {
        sum += b;
        int c = 4 * b + a;
        a = b;
        b = c;
    }
    Console.WriteLine(sum);
}