MIT 18.06 线性代数 - 23微分方程,exp(At)
微分方程和
微分方程 #
本讲主要讲解解一阶方程(first-order system)一阶导数(first derivative)常系数(constant coefficient)线性方程,上一讲介绍了如何计算矩阵的幂,本讲将进一步涉及矩阵的指数形式。我们通过解一个例子来详细介绍计算方法。
有方程组
-
这个初始条件的意义可以看做在开始时一切都在
中,但随着时间的推移,将有 ,因为 项初始为正, 中的事物会流向 。随着时间的发展我们可以追踪流动的变化。 -
根据上一讲所学的知识,我们知道第一步需要找到特征值与特征向量。
,很明显这是一个奇异矩阵,所以第一个特征值是 ,另一个特征向量可以从迹得到 。当然我们也可以用一般方法计算行列式 。(教授提前剧透,特征值
将会逐渐消失,因为答案中将会有一项为 ,该项会随着时间的推移趋近于 。答案的另一部分将有一项为 ,该项是一个常数,其值为 ,并不随时间而改变。通常含有 特征值的矩阵会随着时间的推移达到稳态。) -
求特征向量,
时,即求 的零空间,很明显 ; 时,求 的零空间, 的零空间为 。 -
则方程组的通解为:
,通解的前后两部分都是该方程组的纯解,即方程组的通解就是两个与特征值、特征向量相关的纯解的线性组合。我们来验证一下,比如取 带入 ,对时间求导得到 ,化简得 。对比上一讲,解
时得到 ,而解 我们得到 。 -
继续求
, ,已知 时, ( ),所以 。 -
于是我们写出最终结果,
。
稳定性:这个流动过程从
收敛态:需要其中一个特征值实部为
发散态:如果某个特征值实部大于
再进一步,我们想知道如何从直接判断任意二阶矩阵的特征值是否均小于零。对于二阶矩阵
总结:原方程组有两个相互耦合的未知函数,
指数矩阵 #
在上面的结论中,我们见到了
理解指数矩阵的关键在于,将指数形式展开称为幂基数形式,就像
再说些题外话,有两个极具美感的泰勒级数:
回到正题,我们需要证明
需要注意的是,
最后,我们来看看什么是
有了
同差分方程一样,我们来看二阶情况如何计算,有
继续推广,对于
【推荐】凌霞软件回馈社区,博客园 & 1Panel & Halo 联合会员上线
【推荐】轻量又高性能的 SSH 工具 IShell:AI 加持,快人一步
· DeepSeek火爆全网,官网宕机?本地部署一个随便玩「LLM探索」
· 开发者新选择:用DeepSeek实现Cursor级智能编程的免费方案
· 【译】.NET 升级助手现在支持升级到集中式包管理
· 独立开发经验谈:如何通过 Docker 让潜在客户快速体验你的系统
· Tinyfox 发生重大改版