MIT 18.06 线性代数 - 22. 对角化和矩阵的幂
关于斐波那契数列计算第n个数，使用矩阵特征向量和特征值求解：
Fibonacci 数列的定义是：\(F(0)=0\)，\(F(1)=1\) 并且对于 \(n>1\)，\(F(n)=F(n-1)+F(n-2)\)。我们可以使用线性代数中的特征向量和特征值来求解 Fibonacci 数列。
首先，我们可以将 Fibonacci 数列写为一个线性系统的形式：
\[\begin{bmatrix}
F(n+1)\\
F(n)
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 1\\
1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
F(n)\\
F(n-1)
\end{bmatrix}
\]
我们可以将这个矩阵写为 \(A\)，然后找到 \(A\) 的特征值和特征向量。计算得到，特征值为 \(\lambda_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) 和 \(\lambda_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)，对应的特征向量为 \(v_1=\begin{bmatrix} \frac{1+\sqrt{5}}{2}\\1 \end{bmatrix}\) 和 \(v_2=\begin{bmatrix} \frac{1-\sqrt{5}}{2}\\1 \end{bmatrix}\)。
我们可以将 Fibonacci 数列的通项公式写为这两个特征向量的线性组合形式：
\[\begin{bmatrix}
F(n)\\
F(n-1)
\end{bmatrix}
=
c_1
\begin{bmatrix}
\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\
1
\end{bmatrix}
(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n
+
c_2
\begin{bmatrix}
\frac{1-\sqrt{5}}{2}\\
1
\end{bmatrix}
(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n
\]
通过 \(F(0)=0\)，\(F(1)=1\)，我们可以解得 \(c_1=\frac{1}{\sqrt{5}}\)，\(c_2=-\frac{1}{\sqrt{5}}\)。
所以 Fibonacci 数列的第 \(n\) 项可以由以下公式计算：
\[F(n) = \frac{1}{\sqrt{5}} (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n - \frac{1}{\sqrt{5}} (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n
\]
这就是通过线性代数特征值和特征向量方式求解 Fibonacci 数列的方法。
