MIT 18.06 线性代数 - 22. 对角化和矩阵的幂

关于斐波那契数列计算第n个数，使用矩阵特征向量和特征值求解：

Fibonacci 数列的定义是：$F(0)=0$，$F(1)=1$ 并且对于 $n>1$，$F(n)=F(n-1)+F(n-2)$。我们可以使用线性代数中的特征向量和特征值来求解 Fibonacci 数列。

首先，我们可以将 Fibonacci 数列写为一个线性系统的形式：

$$\left[\begin{array}{c}F(n+1)\\ F(n)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}F(n)\\ F(n-1)\end{array}\right]$$

我们可以将这个矩阵写为 $A$，然后找到 $A$ 的特征值和特征向量。计算得到，特征值为 ${\lambda }_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 和 ${\lambda }_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，对应的特征向量为 $v_1=\left[\begin{array}{c}\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ 1\end{array}\right]$ 和 $v_2=\left[\begin{array}{c}\frac{1-\sqrt{5}}{2}\\ 1\end{array}\right]$。

我们可以将 Fibonacci 数列的通项公式写为这两个特征向量的线性组合形式：

$$\left[\begin{array}{c}F(n)\\ F(n-1)\end{array}\right]=c_1\left[\begin{array}{c}\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ 1\end{array}\right](\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^n+c_2\left[\begin{array}{c}\frac{1-\sqrt{5}}{2}\\ 1\end{array}\right](\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^n$$

通过 $F(0)=0$，$F(1)=1$，我们可以解得 $c_1=\frac{1}{\sqrt{5}}$，$c_2=-\frac{1}{\sqrt{5}}$。

所以 Fibonacci 数列的第 $n$ 项可以由以下公式计算：

$$F(n)=\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^n-\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^n$$

这就是通过线性代数特征值和特征向量方式求解 Fibonacci 数列的方法。