变换矩阵 及 可视化

变换矩阵是数学线性代数中的一个概念。

在线性代数中，线性变换能够用矩阵表示。如果T是一个把Rn映射到Rm的线性变换，且x是一个具有n个元素的列向量，那么

{\displaystyle T({\vec {x}})=\mathbf {A} {\vec {x}}}T({\vec x})={\mathbf {A}}{\vec x}

我们把m×n的矩阵A，称为T的变换矩阵。


在单位方块上应用各种二维仿射变换矩阵的效果。


最为常用的几何变换都是线性变换，这包括旋转、缩放、切变、反射以及正投影。在二维空间中，线性变换可以用2×2的变换矩阵表示。

旋转

绕原点逆时针旋转 θ 度角的变换公式是 {\displaystyle x'=x\cos \theta -y\sin \theta }x'=x\cos \theta -y\sin \theta 与 {\displaystyle y'=x\sin \theta +y\cos \theta }y'=x\sin \theta +y\cos \theta，用矩阵表示为：

{\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}{\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}

缩放

缩放（反矩阵）公式为 {\displaystyle x'=s_{x}\cdot x}x'=s_{x}\cdot x 与 {\displaystyle y'=s_{y}\cdot y}y'=s_{y}\cdot y，用矩阵表示为：

{\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}s_{x}&0\\0&s_{y}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}{\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}s_{x}&0\\0&s_{y}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}

切变

切变有两种可能的形式：

平行于 x 轴的切变为 {\displaystyle x'=x+ky}x'=x+ky 与 {\displaystyle y'=y}y'=y，矩阵表示为：

{\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}{\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}

平行于 y 轴的切变为 {\displaystyle x'=x}x'=x 与 {\displaystyle y'=y+kx}y'=y+kx，矩阵表示为：

{\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\k&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}{\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\k&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}

反射

为了沿经过原点的直线反射向量，假设（ux, uy）为直线方向的单位向量。变换矩阵为：

{\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2u_{x}^{2}-1&2u_{x}u_{y}\\2u_{x}u_{y}&2u_{y}^{2}-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}{\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2u_{x}^{2}-1&2u_{x}u_{y}\\2u_{x}u_{y}&2u_{y}^{2}-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}

不经过原点的直线的反射是仿射变换，而不是线性变换。

若一座标（x, y）沿直线 {\displaystyle y=(\tan \theta )\cdot x}{\displaystyle y=(\tan \theta )\cdot x} 进行反射，则其影像（x', y'）可用以下公式求得：

{\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}{\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}

正投影

为了将向量正投影到一条经过原点的直线，假设（ux, uy）是直线方向的单位向量，变换矩阵为：

{\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u_{x}^{2}&u_{x}u_{y}\\u_{x}u_{y}&u_{y}^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}{\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u_{x}^{2}&u_{x}u_{y}\\u_{x}u_{y}&u_{y}^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}

跟反射一样，正投影到一条不经过原点的直线的变换是仿射变换，而不是线性变换。

平行投影也是线性变换，也可以用矩阵表示。但是透视投影不是线性变换，必须用齐次坐标表示。




仿射变换

为了表示仿射变换，需要使用齐次坐标，即用三维向量（x, y, 1）表示二维向量，对于高维来说也是如此。按照这种方法，就可以用矩阵乘法表示变换。{\displaystyle x'=x+t_{x}}x'=x+t_{x}; {\displaystyle y'=y+t_{y}}y'=y+t_{y}变为

{\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&t_{x}\\0&1&t_{y}\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}}{\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&t_{x}\\0&1&t_{y}\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}

在矩阵中增加一列与一行，除右下角的元素为1外其它部分填充为0，通过这种方法，所有的线性变换都可以转换为仿射变换。例如，上面的旋转矩阵变为

{\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}}{\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}

通过这种方法，使用与前面一样的矩阵乘积可以将各种变换无缝地集成到一起。

当使用仿射变换时，齐次坐标向量w从来不变，这样可以把它当作为1。但是，透视投影中并不是这样。

透视投影

三维计算机图形学中另外一种重要的变换是透视投影。与平行投影沿着平行线将物体投影到图像平面上不同，透视投影按照从投影中心这一点发出的直线将物体投影到图像平面。这就意味着距离投影中心越远投影越小，距离越近投影越大。

最简单的透视投影将投影中心作为坐标原点，z = 1作为图像平面，这样投影变换为{\displaystyle x'=x/z}x'=x/z; {\displaystyle y'=y/z}y'=y/z，用齐次坐标表示为：

{\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{c}\\y_{c}\\z_{c}\\w_{c}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\1\end{pmatrix}}}{\begin{pmatrix}x_{c}\\y_{c}\\z_{c}\\w_{c}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\1\end{pmatrix}}

(这个乘法的计算结果是{\displaystyle (x_{c},y_{c},z_{c},w_{c})}(x_{c},y_{c},z_{c},w_{c}) = {\displaystyle (x,y,z,z)}(x,y,z,z)。）

在进行乘法计算之后，通常齐次元素wc并不为1，所以为了映射回真实平面需要进行齐次除法，即每个元素都除以wc：

{\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{c}/w_{c}\\y_{c}/w_{c}\\z_{c}/w_{c}\end{pmatrix}}}{\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{c}/w_{c}\\y_{c}/w_{c}\\z_{c}/w_{c}\end{pmatrix}}

更加复杂的透视投影可以是与旋转、缩放、平移、切变等组合在一起对图像进行变换。




posted @ 2018-10-19 09:59  Jerry_Jin  阅读(2086)  评论(0)  编辑  收藏  举报