欧拉角

静态的定义

对于在三维空间里的一个参考系，任何坐标系的取向，都可以用三个欧拉角来表现。参考系又称为实验室参考系，是静止不动的。而坐标系则固定于刚体，随着刚体的旋转而旋转。

参阅右图。设定xyz-轴为参考系的参考轴。称xy-平面与XY-平面的相交为交点线，用英文字母（N）代表。zxz顺规的欧拉角可以静态地这样定义：

  • \alpha是x-轴与交点线的夹角，
  • \beta是z-轴与Z-轴的夹角，
  • \gamma是交点线与X-轴的夹角。

很可惜地，对于夹角的顺序和标记，夹角的两个轴的指定，并没有任何常规。科学家对此从未达成共识。每当用到欧拉角时，我们必须明确的表示出夹角的顺序，指定其参考轴。

实际上，有许多方法可以设定两个坐标系的相对取向。欧拉角方法只是其中的一种。此外，不同的作者会用不同组合的欧拉角来描述，或用不同的名字表示同样的欧拉角。因此，使用欧拉角前，必须先做好明确的定义。

角值范围[编辑]

  • \alpha,\ \gamma值从0至2\pi 弧度。
  • \beta值从0至\pi弧度。

对应于每一个取向，设定的一组欧拉角都是独特唯一的；除了某些例外：

  • 两组欧拉角的\alpha，一个是0，一个是2\pi，而\beta与\gamma分别相等，则此两组欧拉角都描述同样的取向。
  • 两组欧拉角的\gamma，一个是0，一个是2\pi，而\alpha与\beta分别相等，则此两组欧拉角都描述同样的取向。

旋转矩阵[编辑]

前面提到，设定刚体取向的旋转矩阵[\mathbf{R}]是由三个基本旋转矩阵合成的：

[\mathbf{R}] = \begin{bmatrix} \cos \gamma & \sin \gamma & 0 \\ -\sin \gamma & \cos \gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \beta & \sin \beta \\ 0 & -\sin \beta & \cos \beta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\ -\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

从左到右依次代表绕着z轴的旋转、绕着交点线的旋转、绕着Z轴的旋转。

经过一番运算,

[\mathbf{R}] = \begin{bmatrix} \cos\alpha\cos\gamma-\cos\beta\sin\alpha\sin\gamma & \sin\alpha\cos\gamma+\cos\beta\cos\alpha\sin\gamma & \sin\beta\sin\gamma \\-\cos\alpha\sin\gamma-\cos\beta\sin\alpha\cos\gamma & -\sin\alpha\sin\gamma+\cos\beta\cos\alpha\cos\gamma & \sin\beta\cos\gamma \\ \sin\beta\sin\alpha & -\sin\beta\cos\alpha & \cos\beta \end{bmatrix}

[\mathbf{R}]的逆矩阵是：

[\mathbf{R}]^{-1}= \begin{bmatrix} \cos\alpha\cos\gamma-\cos\beta\sin\alpha\sin\gamma & -\cos\alpha\sin\gamma-\cos\beta\sin\alpha\cos\gamma & \sin\beta\sin\alpha \\ \sin\alpha\cos\gamma+\cos\beta\cos\alpha\sin\gamma & -\sin\alpha\sin\gamma+\cos\beta\cos\alpha\cos\gamma & -\sin\beta\cos\alpha \\ \sin\beta\sin\gamma & \sin\beta\cos\gamma & \cos\beta \end{bmatrix}

别种顺序[编辑]

在经典力学里，时常用zxz顺规来设定欧拉角；照着第二个转动轴的轴名，简称为x顺规。另外，还有别种欧拉角组。合法的欧拉角组中，唯一的限制是，任何两个连续的旋转，必须绕着不同的转动轴旋转。因此，一共有12种顺规。例如，y顺规，第二个转动轴是y-轴，时常用在量子力学，核子物理学，粒子物理学。另外，还有一种顺规，xyz顺规，是用在航空航天工程学；参阅Tait-Bryan angles。


 



posted @ 2018-08-21 17:19  Jerry_Jin  阅读(3510)  评论(0)  编辑  收藏  举报