信息熵、交叉熵、KL散度、JS散度、Wasserstein距离

信息熵、交叉熵、KL散度、JS散度、Wasserstein距离

交叉熵（cross entropy）是深度学习中常用的一个概念，一般用来求目标与预测值之间的差距。以前做一些分类问题的时候，没有过多的注意，直接调用现成的库，用起来也比较方便。最近开始研究起对抗生成网络（GANs），用到了交叉熵，发现自己对交叉熵的理解有些模糊，不够深入。遂花了几天的时间从头梳理了一下相关知识点，才算透彻的理解了，特地记录下来，以便日后查阅。

信息论

交叉熵是信息论中的一个概念，要想了解交叉熵的本质，需要先从最基本的概念讲起。

1 信息量

首先是信息量。假设我们听到了两件事，分别如下：
事件A：巴西队进入了2018世界杯决赛圈。
事件B：中国队进入了2018世界杯决赛圈。
仅凭直觉来说，显而易见事件B的信息量比事件A的信息量要大。究其原因，是因为事件A发生的概率很大，事件B发生的概率很小。所以当越不可能的事件发生了，我们获取到的信息量就越大。越可能发生的事件发生了，我们获取到的信息量就越小。那么信息量应该和事件发生的概率有关。

假设X是一个离散型随机变量，其取值集合为χ,概率分布函数p(x)=Pr(X=x),x∈χ,则定义事件X=x0的信息量为：


I(x0)=−log(p(x0))

由于是概率所以p(x0)的取值范围是[0,1],绘制为图形如下：

这里写图片描述
可见该函数符合我们对信息量的直觉

2 熵

考虑另一个问题，对于某个事件，有n种可能性，每一种可能性都有一个概率p(xi)
这样就可以计算出某一种可能性的信息量。举一个例子，假设你拿出了你的电脑，按下开关，会有三种可能性，下表列出了每一种可能的概率及其对应的信息量

注：文中的对数均为自然对数

我们现在有了信息量的定义，而熵用来表示所有信息量的期望，即：

其中n代表所有的n种可能性，所以上面的问题结果就是

然而有一类比较特殊的问题，比如投掷硬币只有两种可能，字朝上或花朝上。买彩票只有两种可能，中奖或不中奖。我们称之为0-1分布问题（二项分布的特例），对于这类问题，熵的计算方法可以简化为如下算式：

3 相对熵（KL散度）

相对熵又称KL散度,如果我们对于同一个随机变量 x 有两个单独的概率分布 P(x) 和 Q(x)，我们可以使用 KL 散度（Kullback-Leibler (KL) divergence）来衡量这两个分布的差异

维基百科对相对熵的定义

In the context of machine learning, DKL(P‖Q) is often called the information gain achieved if P is used instead of Q.

即如果用P来描述目标问题，而不是用Q来描述目标问题，得到的信息增量。

在机器学习中，P往往用来表示样本的真实分布，比如[1,0,0]表示当前样本属于第一类。Q用来表示模型所预测的分布，比如[0.7,0.2,0.1]
直观的理解就是如果用P来描述样本，那么就非常完美。而用Q来描述样本，虽然可以大致描述，但是不是那么的完美，信息量不足，需要额外的一些“信息增量”才能达到和P一样完美的描述。如果我们的Q通过反复训练，也能完美的描述样本，那么就不再需要额外的“信息增量”，Q等价于P。

KL散度的计算公式：


(3.1)DKL(p||q)=∑i=1np(xi)log(p(xi)q(xi))

n为事件的所有可能性。
DKLDKL的值越小，表示q分布和p分布越接近

4 交叉熵

对式3.1变形可以得到：

等式的前一部分恰巧就是p的熵，等式的后一部分，就是交叉熵：

在机器学习中，我们需要评估label和predicts之间的差距，使用KL散度刚刚好，即DKL(y||y^)，由于KL散度中的前一部分−H(y)不变，故在优化过程中，只需要关注交叉熵就可以了。所以一般在机器学习中直接用用交叉熵做loss，评估模型。

5. KL散度

KL散度又称为相对熵，信息散度，信息增益。KL散度是是两个概率分布P和Q 差别的非对称性的度量。 KL散度是用来 度量使用基于Q的编码来编码来自P的样本平均所需的额外的位元数。 典型情况下，P表示数据的真实分布，Q表示数据的理论分布，模型分布，或P的近似分布。

定义如下：

因为对数函数是凸函数，所以KL散度的值为非负数。

有时会将KL散度称为KL距离，但它并不满足距离的性质：

  1. KL散度不是对称的；
  2. KL散度不满足三角不等式。

6. JS散度(Jensen-Shannon)

JS散度度量了两个概率分布的相似度，基于KL散度的变体，解决了KL散度非对称的问题。一般地，JS散度是对称的，其取值是0到1之间。定义如下：

KL散度和JS散度度量的时候有一个问题：

如果两个分配P,Q离得很远，完全没有重叠的时候，那么KL散度值是没有意义的，而JS散度值是一个常数。这在学习算法中是比较致命的，这就意味这这一点的梯度为0。梯度消失了。

7. Wasserstein距离

Wasserstein距离度量两个概率分布之间的距离，定义如下：

Π(P1,P2)是P1和P2分布组合起来的所有可能的联合分布的集合。对于每一个可能的联合分布γ，可以从中采样(x,y)∼γ得到一个样本x和y，并计算出这对样本的距离||x−y||，所以可以计算该联合分布γ下，样本对距离的期望值E(x,y)∼γ[||x−y||]。在所有可能的联合分布中能够对这个期望值取到的下界infγ∼Π(P1,P2)E(x,y)∼γ[||x−y||]就是Wasserstein距离。

直观上可以把E(x,y)∼γ[||x−y||]理解为在γ这个路径规划下把土堆P1挪到土堆P2所需要的消耗。而Wasserstein距离就是在最优路径规划下的最小消耗。所以Wesserstein距离又叫Earth-Mover距离。

Wessertein距离相比KL散度和JS散度的优势在于：即使两个分布的支撑集没有重叠或者重叠非常少，仍然能反映两个分布的远近。而JS散度在此情况下是常量，KL散度可能无意义。


关于Wessertein距离在GAN中应用请参阅：

https://www.cnblogs.com/jins-note/p/9550683.html

https://www.cnblogs.com/jins-note/p/9550702.html



References:

  1. 维基百科KL散度
  2. 维基百科JS散度
  3. 维基百科Wasserstein距离




posted @ 2020-03-30 10:11  Jerry_Jin  阅读(2713)  评论(1)  编辑  收藏  举报