从零开始手撸红黑树(二)

上节回顾

上一章我们介绍了二叉树，二叉搜索树相关的一些知识。

当一个二叉搜索树是一个满二叉树，或者是完美二叉树的时候可以计算一下二叉搜索树的查找，插入，删除的时间复杂度。
从代码来看它们的时间复杂度都是和树的高度相关的。

满二叉树的高度是$log_2(n + 1)$，完美二叉树的高度是$floor(log_2n) +1$，所以当二叉树是满二叉树或者是完美二叉树的时候，树的高度接近 $logn$，所以插入、删除、查找操作的时间复杂度也比较稳定，是 $O(logn)$。

这是在满二叉树或者是完美二叉树的情况下，当插入、或者删除操作一些节点后，二叉搜索树可能会变成链表，也就是高度是 $n$的情况，这个时候插入，删除，查找的时间复杂度就变成了$O(n)$。

所以可以发现当 $n$ 比较大的时候最好和最坏的情况下时间复杂度相差很大

平衡二叉搜索树

为了更高效的使用二叉搜索树，避免二叉搜索树退化成链表，就需要在二叉搜索树的添加，删除的时候尽量保持二叉搜索树的平衡。

平衡：当节点数固定的时候，左右子树的高度越接近，这颗二叉搜索树越平衡

最理想的情况当然就是满二叉树或者完美二叉树了，在相同节点数的情况下高度最低。

首先添加，删除的节点是随机的，无法控制，可以做的是在添加，或者删除动作后调整节点的位置，使得二叉树尽量保持平衡。

这种在添加，删除节点后仍然保持平衡二叉树叫自平衡二叉树

经典的自平衡二叉搜索树有

1. AVL 树：在Windows NT内核中广泛使用
2. 红黑树
   1. JAVA 的TreeMap，TreeSet，HashMap，HashSet 中
   2. Linux 的进程调度
   3. Nginx 的timer管理

AVL 树

AVL 树是最早发明的自平衡二叉搜索树，取名于发明者的名字。
AVL 引入平衡因子的概念

某节点的左右子树的高度差

AVL 树的特点就是

• 每个节点的平衡因子只能是 1，0，-1，即每个节点的左右子树的高度差不大于 1；
• 搜索，添加，删除的时间复杂度为$O(logn)$

下面是一组对比：二叉搜索树和 AVL 树插入相同数据后的表现

数据： 35，37，34，56，25，62，57，9，74，32，94，80，75，100，16，82

二叉搜索树

AVL 树

AVL 树实现

1.添加

首先回忆一下二叉搜索树的添加，我们会从根节点开始一路向下比较，找到新添加节点的位置。所以因为添加而破坏树的平衡的的情况都会发生在叶子节点处，并且失衡只会发生在添加节点的祖先节点上，添加节点的父节点和非祖先节点都不会失衡。

如上图，当添加节点 13 后，失衡的节点有 14，15，9这 3 个祖先节点，而父节点 12 和非祖先节点 6，4，8，16 都没有失衡。

因此，对于添加节点导致的失衡可以有如下 4 中情况

1.1 LL右旋（单旋）

当添加节点 N 时，失衡的节点有 n 的祖父节点 g
这个时候是因为是 g 节点的左边的左边的节点使得它失去平衡，所以称这种情况为 LL，这个时候需要进行右旋转使得这个树重新获得平衡。

操作如下

• g.left = p.right
• p.right = g
• p成为这个子树的根节点

操作后如上图所示，这颗子树就恢复平衡了，同时仍然是一棵二叉搜索树：T0 < n < T1 < p < T2 < g < T3，而其他节点因为添加前后子树的高度没有变化，因此往上的祖父节点也还是平衡的。

1.2 RR左旋（单旋）

当添加节点 N 时，失衡的节点有 n 的祖父节点 g
这个时候是因为是 g 节点的右边的右边的节点使得它失去平衡，所以称这种情况为 RR，这个时候需要进行右旋转使得这个树重新获得平衡。

• g.right = p.left
• p.left = g
• p 成为这颗子树的根节点

变化后如下图所示

此时同样也是一颗二叉搜索树

1.3 RL – LL右旋转，RR左旋转（双旋）

从上面的 LL，RR 的讲解，应该能猜到，是失衡节点右边的左边的节点的添加导致的。如下图所示：

此时 g 的平衡因子是 2 失衡。此时需要做的是将这种情况转变成我们上面讲的 LL 和 RR 的情况，和玩魔方类似。讲复杂问题一步步拆分成熟悉的问题来解决。只看 n 和 p 两个节点，新添加的 N 节点是 p 节点的左边的左边，对 p 进行 LL 情况的转换。也就是对 P 进行右旋转

转换后如下图所示

这样就变成了我们上面讲的 RR 的情况了，很简单，在对 g 进行左旋转即可。

1.4 LR – RR左旋转，LL右旋转（双旋）

有了上面 RL 情况的分析，LR 就很简单了，直接上图

节点 g 失衡，因为其左边的右边的节点新增了节点，而单看 p，n 节点，可以简单的看成 RR 的情况，对 p 用左旋处理后

LL 的情况就形成了，下面就简单的对 g 进行右旋解决问题

至此添加导致失衡的所有情况都分析完毕，下面就是代码上如何去实现这 4 中情况了

1.5 代码实现

上面分析了，失衡发现在添加之后，而我们的处理逻辑也都是在添加之后进行的，所以恢复平衡的代码也就是写在二叉搜索树添加节点之后。

在二叉搜索树的添加节点方法中添加方法afterAdd(newNode);参数为新添加的节点。

而上面的分析我们也知道了，失衡只发生在祖先节点上，而处理了最低的失衡节点后，其之上的失衡节点也会因此平衡，所以，只需要从添加节点开始向上查找第一个失衡的节点，将其平衡就可使得整个二叉搜索树平衡。

对于 AVL 树，我们需要知道其每个节点的平衡因子，AVL 树的平衡因子是左子树的高度减右子树的高度，因此我们需要知道每个节点的高度。

修改二叉搜索树中的添加节点，添加高度属性和修改高度的方式。

private static class AVLNode<E> extends Node<E> {
    int height = 1;

    public AVLNode(E element, Node<E> parent) {
        super(element, parent);
    }

    public void updateHeight() {
        int leftHeight = left == null ? 0 : ((AVLNode<E>) left).height;
        int rightHeight = right == null ? 0 : ((AVLNode<E>) right).height;
        height = 1 + Math.max(leftHeight, rightHeight);
    }
}

对 AVL 树添加计算平衡因子的方法，和判断是否平衡的方法

public int balanceFactor() {
    int leftHeight = left == null ? 0 : ((AVLNode<E>)left).height;
    int rightHeight = right == null ? 0 : ((AVLNode<E>)right).height;
    return leftHeight - rightHeight;
}

private boolean isBalanced(Node<E> node) {
    return Math.abs(((AVLNode<E>)node).balanceFactor()) <= 1;
}

对于添加节点后的操作有重新设置添加节点的祖先节点的高度，找打失衡节点，恢复平衡

protected void afterAdd(Node<E> node) {
    while ((node = node.parent) != null) {
        if (isBalanced(node)) {
            // 更新高度
            updateHeight(node);
        } else {
            // 恢复平衡,失衡节点高度恢复后，其上节点的高度不变
            rebalance(node);
            // 整棵树恢复平衡
            break;
        }
    }
}

接下来的重点就在rebalance()这个方法上。

首先分析上面的 4 中情况，当 g 是最低失衡节点时

1. LL： g 的平衡因子 2，p 的平衡因子 1
2. RR： g 的平衡因子-2，p 的平衡因子 -1
3. LR： g 的平衡因子 2，p 的平衡因子 -1
4. RL： g 的平衡因子 -2, p 的平衡因子 1
   也就是说 p 是 g 左右子树节点中高度最高的那个，同样 n 也是 p 左右子树中节点最高的那个

public Node<E> tallerChild() {
    int leftHeight = left == null ? 0 : ((AVLNode<E>)left).height;
    int rightHeight = right == null ? 0 : ((AVLNode<E>)right).height;
    if (leftHeight > rightHeight) {
        return left;
    }
    if (leftHeight < rightHeight) {
        return right;
    }
    return isLeftChild() ? left : right;
}

private void rebalance(Node<E> grand) {
    Node<E> parent = ((AVLNode<E>)grand).tallerChild();
    Node<E> node = ((AVLNode<E>)parent).tallerChild();
    if (parent.isLeftChild()) { // L
        if (node.isLeftChild()) { // LL
            rotateRight(grand);
        } else { // LR
            rotateLeft(parent);
            rotateRight(grand);
        }
    } else { // R
        if (node.isLeftChild()) { // RL
            rotateRight(parent);
            rotateLeft(grand);
        } else { // RR
            rotateLeft(grand);
        }
    }
}

接下来就是左旋转和右旋转的代码实现了，根据上面的分析，和上节的基础，代码其实很简单

private void rotateLeft(Node<E> grand) {
    Node<E> parent = grand.right;
    Node<E> child = parent.left;
    grand.right = child;
    parent.left = grand;
    afterRotate(grand, parent, child);
}

private void rotateRight(Node<E> grand) {
    Node<E> parent = grand.left;
    Node<E> child = parent.right;
    grand.left = child;
    parent.right = grand;
    afterRotate(grand, parent, child);
}

private void afterRotate(Node<E> grand, Node<E> parent, Node<E> child) {
    // 让parent称为子树的根节点
    parent.parent = grand.parent;
    if (grand.isLeftChild()) {
        grand.parent.left = parent;
    } else if (grand.isRightChild()) {
        grand.parent.right = parent;
    } else { // grand是root节点
        root = parent;
    }
    
    // 更新child的parent
    if (child != null) {
        child.parent = grand;
    }
    
    // 更新grand的parent
    grand.parent = parent;
    
    // 更新高度
    updateHeight(grand);
    updateHeight(parent);
}

至此，添加节点恢复平衡二叉搜索树的代码就完成了。

2. 删除

首先回忆一下上一章，二叉搜索树的删除。当删除叶子节点的时候，直接删除；删除度为 1 的节点的时候，用其子节点代替被删除的节点，然后删除子节点；删除度为 2 的节点时，用其前驱节点或后继节点代替被删除的节点，然后删除其前驱节点或后继节点。所以真正删除的节点一定是叶子节点。

删除叶子节点的时候，当之前是平衡二叉搜索树，这时影响到的高度有其父节点和祖先节点，所以，也只会导致其父节点或祖先节点失衡。

如上图所示，当删除节点 16 时，会导致节点 11 失衡。

当删除节点 16 时，会造成节点 15 失衡。

对于删除同样也会出现添加那样的 4 中失衡情况。

2.1 LL失衡

上图就是一个典型的 LL 情况，当删除 N 节点时，g 节点失衡，进行右旋转，此时整个树平衡，但是当节点 O 不存在是，整个树的高度比之前少 1，也就是说存在可能 p 的父节点失衡。

这个时候就需要继续向上查看失衡节点，同时恢复平衡

2.2 RR 失衡

RR失衡的情况和 LL 一样，当删除节点 N 后，g 节点失衡，当 O 节点不存在时，左旋后的 p 节点的父节点可能失衡。需要继续向上查看失衡节点，并恢复平衡。

2.3 其他情形

RL和 LR 的情况就不去分析了和LL 和 RR 的情形一样，经过旋转调整后，可能会出现整个子树的高度减一，从而影响到祖父节点的高度可能会出现上层节点的失衡。

2.4 代码实现

在二叉搜索树的删除方法中添加恢复平衡的方法
afterRemove(node); 参数为被删除的节点

具体代码可以查看上一章节的内容。

由上面的分析可以知道。添加和删除的单次恢复都是 4 中情形，LL，RR，LR，RL。所以，恢复平衡的方法是可以通用的，唯一的不同是，添加后因为子树的高度没有发生变化，所以一次恢复就可以恢复平衡，而删除可能会引起子树高度的变化，所以需要向上层继续查看是否失衡。因此，afterRemove(node)代码的逻辑就很清楚了

protected void afterRemove(Node<E> node) {
	while ((node = node.parent) != null) {
		if (isBalanced(node)) {
			// 更新高度
			updateHeight(node);
		} else {
			// 恢复平衡
			rebalance(node);
		}
	}
}

和添加方法的区别在于恢复平衡后去掉了 break;

AVL的总结

添加

• 可能会导致所有的祖先节点都失衡，父节点不会失衡
• 只需要让高度最低的失衡节点恢复平衡，整颗树就恢复平衡了
• 需要$O(1)$次调整

删除

• 可能会导致父节点或祖先节点失衡
• 恢复平衡后，可能会导致更高层的祖先节点失衡
• 最多需要$O(logn)$次调整

最后同样留一道算法题给大家练手

平衡二叉树

推荐一个算法图形化展示的网站，也就是文中动图的来源，可以用来理解各种算法
算法网站