Prim算法、Kruskai算法寻找最小生成树

Prim算法

什么是最小生成树？

例子：镇长管辖6个村落，分别是A村、B村、C村、D村、E村、F村。镇长住A村，他想去其他各个村落视察，但没有路过不去，所以要修路。但是两两村落间修路所需的钱不同，如下图所示：A村到B村需6万元，B村到C村需3万元……。村长是个小气鬼，想花最少的钱确保他能到每一个村落视察。

 

那么如何修路呢？

下面介绍用Prim算法修路，即寻找最小生成树

镇长到A村，先选择A村相邻花费最少的（1万）到F村，再选择F村相邻花费最少的（2万）到B村，再选择B村相邻花费最少的（3万）到C村，接下来C村只能选择到D村，但花费太多了（7明显在上图中不是个小数目），镇长不同意，故保留。接着往回退到F村，F村到D村（4万），D村到E村（2万）。即下图

 

 

 这样，镇长就能花最少的钱，愉快的到每个属于他的村落装13了。

PS：镇长不关心其余村落间方不方便，是不是花最少的钱，但是任一村落都是可以到其他所有结点的，只不过不是最便宜的。只关心他住的地方（A村）是不是花最少的钱能到每个村落。

 上图就是一个最小生成树，即花最少的钱修连接所有村落的路。 

最小生成树：边的权重之和最小的那棵生成树。

什么是生成树？

生成树是图的极小连通子图。极小连通子图，即任意掐断一条路，就会存在结点与其他结点断开；任意添加一条路，就会形成回路。

故最小生成树首先是生成树，其次是边的权重之和最小。

 

Kruskal算法

将森林构成一棵树。选权重最小的连接，如果构成了回路则放弃，继续找权重小的连接，直至成为一棵树。

 

 

先将权重最小的（权重是4）连接，再将权重5连接，权重6连接，此时不能连接权重7的，因为权重4，权重6已经连接，此时连接权重7则会形成回路，故放弃，再去将权重8的连接，权重10不能连接，权重5，权重8，权重10会形成回路。权重12连接，权重15不能连接，因为权重8,12,15会形成回路。权重18连接。

 

 此时结点1可到达所有的结点。最小生成树已经形成。