[知识点]最近公共祖先LCA

UPDATE（20180822）：重写部分代码。

1、前言

　　最近公共祖先（LCA），作为树上问题，应用非常广泛，而求解的方式也非常多，复杂度各有不同，这里对几种常用的方法汇一下总。

 

2、基本概念和暴力算法

　　最近公共祖先，顾名思义，指的是两个点的公有祖先中，最近的那个点。它显然不会作为一个单独的知识点拿出来考，但是在很多题目中，出现的频率很高，不同场合用不同的方法。先考虑最简单的做法。找祖先，显然是从所查询的两个点从下往上爬，直到两个点出现第一次重叠时，就是最近公共祖先了。首先我们预处理出所有点的深度及父亲节点。由于两个点深度可能不同，首先我们要保证深度大的点先往上爬到与另一个点深度相同的地方，然后两个点同时向上爬，直到出现重叠。代码如下：

int lca_n() {
    if (d[x] < d[y]) swap(x, y);
    while (d[x] != d[y]) x = fa[x];
    while (x != y) x = fa[x], y = fa[y];
    return x;
}

 

3、倍增LCA

　　倍增这个概念听名字很好理解，知道倍增思想的，直接运用到求LCA并不是不好理解。首先我们需要预处理出所有节点的各种祖宗关系，p[i][j]记录节点i的第2^j个祖先，j = 0时，就是他的父亲节点。同上述暴力算法，我们从询问的两个点开始，往他们的这些倍数祖先向上爬，若第2^i个祖先不同，则从第2^(i - 1)个祖先开始，从头开始倍增。时间复杂度为 log 级别。代码如下：

void prep() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) p[i][0] = fa[i];
    for (int j = 1; (1 << j) <= n; j++)
        for (int i = 1; i <= n; i++) 
            if (p[i][j - 1]) p[i][j] = p[p[i][j - 1]][j - 1];
}

int lca_h() {
    if (d[x] < d[y]) swap(x, y);
    while (d[x] != d[y]) {
        int o = 1;
        while (d[p[x][o]] > d[y]) o++;
        x = p[x][o - 1];
    }
    while (x != y) {
        int o = 1;
        while (p[x][o] != p[y][o]) o++; 
        x = p[x][o - 1], y = p[y][o - 1];
    }
    return x;
}

 

4、树链剖分LCA

　　树链剖分详细概念见（http://www.cnblogs.com/jinkun113/p/4683299.html）。为什么树链剖分可以跑LCA？原文提得很清楚，在把重链划分出来之后，可以确定的是重链要么单独一条存在，要么必定相连，故可以用线段树来维护。

　　树链剖分的优势和倍增是一样的，都可以跳过一些不必要的部分，若当前点的重链顶端不是父亲节点，可以利用线段树直接从当前点跳到顶端。这样可以达到减小复杂度的目的。

　　这里写出树链剖分DFS预处理和LCA核心代码的最新版本。代码到树链剖分那篇文章中找吧。

 

5、Tarjan LCA

（暂略）