[考试]20151016动态规划

1、前言

　　互测题第五弹——来自z123z123d的动态规划，我已经走好了丧病的准备，所以大暴力伺候。结果！我发现了更丧病的地方——卡空间！整整100分。再见。其他题的话，，，基本上不可做，有的不敢写，有的根本写不出。

 

2、Matrix 矩阵

大概题意：有一个n*m的矩阵，从左上角走到右下角，只能向下或向右走。每个点上有一个重量为v[i][j]，价值为w[i][j]的物品，你有一个容量为S的背包，经过一个点你可以选择将它放入背包，求得到的最大价值。

题解：

　　给0-1背包强行加了个矩阵，想法还是不错的。转移方式由以前的一层一层转移变为按坐标转移，但是！有一个很重要的事情要考虑！n,m,S<=400，直接开一个三维数组会爆空间，244MB左右，然后我光荣牺牲了。所以要用滚动数组。

 

3、Product 产品排序

大概题意：你是一个公司的员工，会按时间顺序受到些产品订单需要你是一个公司的员工，会按时间顺序受到些产品订单需要用一个栈来改变这些订单的顺序（每个产品都必须入栈和出栈一次 ）。按初始顺序，每次可以将一个产品 入栈或顶弹至现在的列末尾。每个产品有一个制作时间ti和单位时间惩罚值di，请最小化总惩罚值，指每个产品完成时间×惩罚值的总和。

题解：

　　考虑最后出栈的是i，则1到i-1在i入栈前就已经弹出，而与i+1到n的顺序没有关系，并且i+1到n的总惩罚值只和他们内部的顺序与1到i的总时间相关，故两方面之间是可以看做两个不受关联的子问题的，即[1,i-1]和[i+1,n]。

　　则令f[i][j]表示[l,r]的最小惩罚值。f[i][j] = min(f[l][mid - 1]+f[mid + 1][r] + (st[mid - 1] - st[l - 1]) * (sd[r] - sd[mid]) + (st[r] - st[l - 1]) * d[mid])（l <= mid <= r），其中st为时间前缀和，sd为惩罚前缀和。

 

4、Wave 波浪数

大概题意：求长度为n的排列个数，满足每两个元素之间的差值绝对值的总和为m。

题解：

　　首先要知道在动态规划中一种常见的排列的生成方式，每次加入一个数然后和前面的数交换或者插入一个位置，再计算权值。因为是绝对值，所以考虑从小到大添加，但是发现在交换过程中，与前面序列的状态有关，不好转移，但是n很小，故添加一个状态以转移。

　　在加入一个元素之后我们决策其相邻的两个元素与其的大小关系，此时就加上它对答案的影响，这样一来我们相当于将当前序列割成几段，后面的数只能插入段与段的间隙之中。考虑到两端间隙的特殊性，令f[i][j][k][s]表示考虑完前i个数，有j个间隔，两端间隔为k个，波动值为k的情况的方案数。

 

5、Inversion 逆序对

大概题意：有一个1-n的排列，你会依次进行m次操作，第i次操作表示为(xi,yi)，交换以这两个数的值为下标的元素，每次操作有一半的几率成功。你需要求最后序列的逆序对的期望个数。

题解：

　　动态规划的题目套上一个数学期望的样式。因为逆序对是(x,y)的形式，考虑每一对(i,j)对答案的贡献。f[i][j]表示a[i]>a[j]的概率，发现每一操作只影响O(n)个f值，于是可以处理出每个f的初始值，每次更新受影响的值即可。