[考试]20151009

1、前言

后来做了一遍觉得今天题目200还是很轻松的吧，数据感觉比较水。为什么说后来做，因为考试的时候快2个多小时了结果突然系统报错然后什么修改都没了，然后直接弃考了。这是不是也要算个问题？

 

2、Child 幼儿园

大概题意：给出一个长度为n的带权环，要求从中某处切开，顺时针平铺形成一个数组，通过最少的次数进行相邻数与数之间的交换，使最后形成{1,2,3,...,n}。

题解：

　　做过火柴排队就应该很快想到求逆序对个数了，不用逆序对是没有任何办法的。逆序对无论你用O(n^2)还是O(n log n)（树状数组求逆序对介绍：http://www.cnblogs.com/jinkun113/p/4725420.html），在这里都能过。问题就在于，这是一个环，如何切割才是最好的呢？显然我们不能每次选一个位置去切，这样时间复杂度高达O(n^2 log n)，而这里n<=10000。我们假设这不是个环，然后每次进行平移，注意到最后形成{p1,p2,p3,...,pn}或是{p2,p3,p4,...,p1}，之间是有联系的。设最初逆序对个数为x，第一位为a，每次的平移相当于将第一位移动到最后一位，其他数我们将他们分成两部分——比a大的和比a小的。由于这个环上的数是1到n的排列，所以易得比a大的个数为n-a，比a小的个数为a-1。则逆序对在原基础上需要减去a-1，加上n-a，即nx=x-2*a+1。这样，只需要用O(n)的时间就算出来最小值了。

 

3、Color 棋盘染色

大概题意：一个N*N的棋盘,被挖去了某些格子,要求用最少的颜色给剩下的格子染色,使得任意两个在同行或同列的格子的颜色不同。

总结：其实求出颜色的个数还是简单的，但是题目还要求把棋盘输出，这就麻烦了，我并不会，自行看题解。

题解（from 出题人）：

　　建立二分图, 如果第i行第j列的位置有格子,则在xi到yj之间连一条边,所以一个格子对应一条边,对于任意两个颜色相同的格子,(i1,j1)和(i2,j2),都有i1<>i2且j1<>j2,所以这两个格子所对应的边无公共顶点,所以颜色相同的格子所对应的边的集合是一个匹配,现在问题就转化为了如何用最少的匹配覆盖掉二分图中所有的边.很容易想到一个贪心法那就是每次选随便找一个最大匹配,然后删掉上面的边然后继续，然而这样是有反例的。

　　关键问题就是第一次的时候你的最大匹配没有匹配到度最大的顶点x1,因为设二分图度最大的顶点的度为maxd,则至少要maxd个匹配才能覆盖掉二分图中所有的边.实际上有一个定理:二分图一定存在一个匹配饱和所有度最大的顶点的匹配,该定理的证明在一般图论书上有详细介绍,而由于问题的下界是maxd,所以只要每次取饱和所有度最大顶点的匹配就可以了,具体实现方法与一般的求最大匹配的方法是一样的,你只要优选从度最大的顶点开始找增广路就可以了,一但某个度最大的点成为饱和点,它就不可能成为非饱和点了。

 

4、奶牛编号

大概题意：求有多少个长度为n，值域为[1,n]的数列a，满足a[i]<a[i+2] && a[i]<a[i+3]。仅需方案数后五位。

总结：虽然看起来很好做的样子，但是要考虑的东西很多。

题解（from 出题人）：

　　设f(h, min)表示这样的数列的总数：
　　　　1、数列长度为h。令数列的元素为a1, a2, …, ah。
　　　　2、a1, a2≥min
　　　　3、对于任意的1≤i≤h-2，有ai<ai+2
　　　　4、对于任意的1≤i≤h-3，有ai<ai+3
　　分三类讨论：（这里假设n足够大）
　　　　第一类：a1, a2≥min+1。
　　　　　　这时的总数是f(h, min+1)
　　　　第二类：a2 = min, a1≥min。
　　　　　　可以把a3, a4, …, ah看作一个长度为h-2的新数列。必须满足：
　　　　　　　　1、a3, a4>a1
　　　　　　　　2、a4, a5>a2
　　　　　　　　3、对于任意的3≤i≤h-2，有ai<ai+2
　　　　　　　　4、对于任意的3≤i≤h-3，有ai<ai+3
　　　　　　根据(1)、(3)和(4)可以得到：
　　　　　　　　a5>a3>a1≥a2
　　　　　　　　a4>a1≥a2
　　　　　　因此(2)可以根据(1), (3), (5)推得。故而可以化简为：
　　　　　　　　1、a3, a4>a1
　　　　　　　　2、对于任意的3≤i≤h-2，有ai<ai+2

　　　　　　　　3、对于任意的3≤i≤h-3，有ai<ai+3
　　　　　　这样的数列有f(h-2, a1+1)个。
　　　　　　因此第二类情况中共有f(h-2,k+1)(k∈[min,n])个符合f(h,min)定义的数列。
　　　　第三类：a2>min，a1=min。
　　　　　　必有a2>a1。将a2, a3, …, ah 看作一个长度为h-1 的数列。必须满足：
　　　　　　　　1、a2, a3, a4>a1
　　　　　　　　2、对于任意的2≤i≤h-2，有ai<ai+2
　　　　　　　　3、对于任意的2≤i≤h-3，有ai<ai+3
　　　　　　根据(2), (3)有：
　　　　　　　　a4 > a2 > a1
　　　　　　于是(1)可化简为：a2, a3 > a1，综合起来就是：
　　　　　　　　1、a2, a3>a1
　　　　　　　　2、对于任意的2≤i≤h-2，有ai<ai+2
　　　　　　　　3、对于任意的2≤i≤h-3，有ai<ai+3
　　　　　　这样的数列有f(h-1,a1+1)=f(h-1,min+1)个。
　　综合上述三类情况：
　　　　f(h,min)=f(h,min+1)+f(h-1,min+1)+f(h-2,k+1)(k∈[min,n])
　　时间复杂度为O(n2)，空间复杂度是O(n)。输出f(n,1)即可。

 

5、入侵计划

大概题意：给出一个数列{1,2,...,n}，给出一个变换矩阵a[n][p]，在第k次变换中，原本在数列第i位的数转移到f[i][k%p]，求多少次变换可以使其复原为{1,2,...,n}。

总结：出题人还是很良心，二十多行的暴力转移可以得60分（30-50分我也不知道是怎么得的除非正解写挂）。还有更神奇的骗分大法，其实我也曾这么想过：假定对于每一个位置是肯定存在循环节的，每次对某个位置进行搜索，如果搜到重复数字，则说明有循环节，记录总个数，最后求出每个位置总个数的最小公倍数即可。听上去很有道理的样子，但是其实很容易找到最开始一部分不参与循环节的情况，也就意味着你可能根本找不对循环节，但是神一般的数据让这种骗分方式给AC了。。。

题解：这其实是一道很高深的题目，主体为置换群的乘法。暂时没有打算做一个专题，在这里简要解释一下。

 

这是最基础的置换群问题了，所以看了之后还是感觉很容易理解。