[知识点]数论之定积分基础

1、前言

　　数论篇的第二章，这一章主要内容在于将导数联系上很关键的内容——积分。

 

2、求非线性函数所围面积

　　现给出一个二次函数y=x^2，要求出该函数和x=1，y=0两条直线围成形状的面积。显然这不是求三角形，矩形一样来个公式割割划划就行了。首先引入一个大家以前应该都有所接触的求圆面积的方式。在还没有圆周率这个概念的时候，人们求圆面积的方法都是将圆的曲线化直，易得所求的多边形面积必定小于圆的面积，而使误差减小的最好方式就是使边数增加，如图所示：

　　随着边数的增加，所得面积趋近于圆面积。

　　而同样地，求如上问题的时候，也可以利用这个思想——化曲为直。如何画？将区间[0,1]分成若干个小区间，对于每一个部分，用矩形面积代替小曲边梯形面积，得到每个面积的近似值。我们假设将[0,1]拆分成[0,1/n]，[1/n,2/n]，[2/n,3/n]，……，[n-1/n,1]，对于每一个小区间，长度为1/n，分别过上述n-1个点作x轴垂线，它们的面积记为△S1，△S2……△Sn，显然，S=△S1+△S2+……+△Sn。

　　当我们n值取得足够大的时候，在区间[i-1/n,i/n]中，可以认为函数y=x^2的值变化很小，不妨认为其近似等于左端点处函数值f(i-1/n)。这样，可得△Si≈f(i-1/n)*x=(i-1/n)^2*x=(i-1/n)^2*(1/n)（i∈[1,n]）。故，S=△S1+△S2+……+△Sn=1/n^3*(1^2+2^2+……+(n-1)^2)=(1/n^3)*(n-1)*(2n-1)/6=1/3*(1-1/n)*(1-1/2n)。从而，S为所求的近似值。

　　由于n是不确定的，此处导数就派上了用场。我们再次从多次取特殊值来看起变化趋势：

　　　　<1> n=2     ==>   S=0.12500

　　　　<1> n=4     ==>   S=0.21875

　　　　<1> n=8     ==>   S=0.27348

　　　　<1> n=16    ==>   S=0.30273

　　　　<1> n=32    ==>   S=0.31871

　　　　<1> n=128   ==>   S=0.32944

　　　　<1> n=512   ==>   S=0.33236

　　　　<1> n=2048  ==>   S=0.33309

　　可以看到，当n趋向于无穷大，即△x趋向于0时，S趋向于标准答案，从而有：

 

　　如图，很形象地体现了：

　　此题我们近似代替所取的值为左端点，那么其实我们取区间范围内任意一处作为近似值，如右端点，同样可以得到1/3这个答案。

 

3、定积分的概念

　　事实上，很多问题都可以归结于上述内容——一种特定形式的极限。一般地，如果函数f(x)在区间[l,r]上连续，用分点：a=x0<x1<x2<...<xn=b，分成n个小区间，在每个小区间任取一点ki（i∈[1,n]），可得：　　

　　

　　当n->∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]的定积分，记作：

　　

　　这里，a和b分别叫做积分下限和积分上限，区间[a,b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。

　　而我们再来看一遍这张图，倘若我们所求区间不是[0,1]，而是[a,b]，那么，图中黄色面积就是定积分∫(a,b) f(x) dx的几何意义。

　　根据上述的定义，请计算出∫(0,1) x^3 dx。

　　解：令f(x)=x^3，在区间[0,1]等距插入n-1个分点，分成n个小区间。取ki=i/n（i∈[1,n]），则：

　　　　

 

　　　　取其极限，即：

　　　　

 

4、定积分的性质

　　这几条性质相对而言应该是比较好理解的，推荐用定积分的几何意义去画画图，尤其是第2条和第3条。

　　　　<1> ∫(a,b)kf(x)dx = k∫(a,b) f(x)dx;

　　　　<2> ∫(a,b)[f1(x)±f2(x)]dx = ∫(a,b)f1(x)dx±∫(a,b)f2(x);

　　　　<3> ∫(a,b)f(x)dx = ∫(a,c)f(x)dx+∫(c,b)f(x)dx (a<c<b).

 

5、总结

　　原本希望将定积分和不定积分一次性讲完，但是发现这样太拖节奏了，于是决定将牛顿-莱布尼茨公式和不定积分等其他内容后置。