[考试]20150810
1、前言
今天是选拔考试第三天，所谓的省队难度，确实有点难，但是我们的发挥比实际难度还要差，暴力100分全场本年级的没有一个拿到，还有一大堆爆0的。好吧。cyb大神（@Delayyy）出的题，和他交流了一下，确实他看了成绩心情也是复杂的。三道题的话都是他国家集训队的作业题，CodeForces上面有英文原题，这下好了。这次考试不刻意作正解分析，更偏向于总结。
2、Tree 种树
大概题意：
在一个数列中种树，每过一个月树长高1m。每个月初，你会收到两种要求之一：在位置p种一棵高度为h的树；砍掉当前第x棵树，且保证以后不会再种。每次操作之后求其最长上升子序列。
总结：
这道题还是成功地把暴力打对了，直接模拟种树，砍树，用O(n log n)暴力求出最长上升子序列。考场上中间存在全部为种树操作的20分，但是n<=10^5，于是无聊写了个贪心自以为能够捞分，后来看了题解就打消了念头 = =。
题解（from Delayyy）：
把每棵树看做二维平面上的一个点(pos[i],h[i])，那么最长上升子序列等价于：每个点只能走到自己右上方的点，走的最长的链。
定义f[i]表示从点i出发走的最长的链。我们发现，砍的树一定是最左边的10棵之一，种的树一定是最下的10棵之一。那么每次操作，我们删除对应的10个节点，然后按次序再逐个加入平面。每加入一个点，我们就要重新计算他的f值。
由于加入时一定x或y有序，所以只要查询另一个坐标的前缀f最大值。于是我们对x轴、y轴分别开一棵线段树来维护f值，这样每次加入一个点时，用O(log w)可以查询并计算出他的f值，再用O(log w)就能更新线段树。（w表示坐标范围）
// 自己慢慢看吧。。。
3、Matrix 数字矩阵
大概题意：
有一个形如这样的数字矩阵：
1 2 5 10 17 26
4 3 6 11 18 27
9 8 7 12 19 28
16 15 14 13 20 29
25 24 23 22 21 30
36 35 34 33 32 31
有t组询问，每次给定x1，y1，x2，y2，你需要计算这个子矩阵之和的后10位，特别地，如果超过10位，需要在数字前加上“...”。
总结：
这道题的暴力完全打错了。。。确实是太单纯了恩。注意，首先可以确定的是，对于某一个矩阵，要拆分成几个部分进行前缀矩阵的计算，但是在这个过程中，倘若你发现其数值大于10^10了就加上“...”，显然是不成立的，因为大于10^10的部分可能根本不在你所求矩阵之内（慢慢思考一下）。
同样还有一个问题需要考虑，若取余之后的数值<=10^9，要在“...”之后补充若干个0。具体做法参见题解中的分析，总而言之的话，做题不要太过于想当然吧。
题解（from Delayyy）：
保留后10位等价于对10^10取模，然而这样是不够的，我们并不知道答案是否超过10位。解决方案是，再在mod 10^10+9的意义下做一次，可以大致认为答案不超过10^10当且仅当两次算出的答案一样。
令f[x][y]=a[i][j]（1<=i<=x，1<=j<=y），对于每一组询问，转化为：
f[x2,y2]-f[x1-1][y2]-f[x2,y1-1]+f[x1-1][y1-1]。
首先我们可以发现，对于f[x][y]，当x=y时，可以直接O(1)算出（等差数列和公式）。然后，当x!=y时，就存在一部分不属于直接计算部分，对面多出来的x行，每一行都是连续的若干数字（列也是同理），求出第一行的和S[1]，给答案加上x*S[1]，这样每一行剩下没计算的值形如：
1 1
2 2*t+2
3 3*t+2+4
4 4*t+2+4+6
求和起来为：t*i+2*i*(x-i-1) （1<=i<=x）
这个式子拆开就是一些i（1<=i<=n）和 i^2（1<=i<=n）和一些常数，都是可以O（1）求的。好吧由于mod有点大，要用O（log）的大数乘法，但是其实有一种O（1）的写法，省略。
4、Happy 愉悦
大概题意：
有一个数列a[1..n]，每次你可以删除a[l..r]，满足：|a[i]-a[i+1]|=1 （l<=i<r）；2a[i]-a[i+1]-a[i-1]>=0（l<i<r）。删除长为x的连续一段可以获得val[x]的收益，求最大收益。
总结：
大概题意里没有提到，其实原题里面有一句很重要的话——每次删除之后两端的序列会重新连接起来！！！考试的时候看到了，但是由于最后时间比较紧，所以导致写DFS的时候没有去接啊。。。结果捧着个10分回来了。以后要多加注意细节啊。
