[知识点] 8.5 最短路
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前言
图论基础算法中最经典的问题！因为实在是太常见了，适用于不同情况的算法也很多。
当时对知识框架并没有概念的时候，对最短路的算法还是挺记忆犹新的，Floyd 和 Dijkstra 的双排故事还在继续。
子目录列表
1、最短路径
2、Floyd 算法
3、Dijkstra 算法
4、Bellman-Ford算法（施工中）
5、SPFA 算法（施工中）
6、Johnson 算法（施工中）
8.5 最短路
1、最短路径
家住信阳的小 k 和小 q 想去贵阳玩耍，因为奇妙的原因，他们只能步行过去，现在手里有一张地图，只能沿着地图上的路径走，不考虑其他因素，他们想知道怎么走能最快到达贵阳？
当然这是一张简化了许多的地图。通过手算，我们发现 “信阳 -> 武汉 -> 岳阳 -> 长沙 -> 邵阳 -> 贵阳” 这条路是最短的，距离为 19，也就是时间花费最少的。
如果地图变得庞大，我们就要采用各种手段来求了！
2、Floyd 算法
① 介绍
Robert Floyd 老先生于 1962 年提出的这个算法。将所有结点的任意两个结点之间的最短路同时求出，是一种多源最短路径算法。适用于需要求出多对起点与终点的情况。因为状态数组初始化直接保存边权，所以不需要单独存储图了。
② 核心思想
初始默认 n 个结点只能通过直接相连的边到达，即假设结点 x 和 结点 y 之间有一条边权为 w 的边，则它们的最短路为 w；如果没有边，则它们不可达。显然当前不一定是最短路径，接下来每次对其中一个结点 i 进行分析，对于其他任意两个结点 x 和 y，判断是否存在 x - i - y (x < i < y) 这样的路径，如果存在，比较其路径长度与当前记录的 x 和 y 之间的最短路长度，如果更优，则更新最短路长度。
③ 举例
暂略。
④ 实现
Floyd 算法本质上是一种动态规划（请参见：4.1 动态规划基础 / 记忆化搜索）。所以，我们用动态规划的框架来分析：
定义一个数组 f[i][j][k]，表示只允许经过编号在 [1, i] 范围内的结点时，结点 j 到结点 k 的最短路长度。显然，f[n][j][k] 即结点 j 到结点 k 的最短路长度。
初始化，结点 j 到结点 k 如果没有相连的边，f[0][j][k] = 0；有，则 f[0][j][k] = 边权；j = k 时，f[0][j][k] = +∞。
根据思想，如果现在分析的结点 i 对结点 j 和 k 之间的最短路长度没有影响，则 f[i][j][k] = f[i - 1][j][k]；如果有更优解，则更新，即 f[i][j][k] = f[i - 1][j][i] + f[i - 1][i][k])。不难发现，其实数组中的第一维是不必要的，递推过程是单调的，则可以直接略去。
综上可得：
状态数组：f[i][j] 表示 “结点 i 到结点 j 的最短路长度”；
状态转移：f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j]), k ∈ (i, j)。
⑤ 核心代码
for (int k = 1; k <= n; k++) for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = 1; j <= n; j++) f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j]);
⑥ 优点
> 适用于任何图，有向无向，正权负权，只要最短路存在（即不存在负环），均可以使用；
> 很好理解，实现相当简单，三个 for 循环即可。
⑦ 缺点
> 复杂度极差。总共对 n 个结点进行分析，每次 x 和 y 的选择种数为 n ^ 2 个，故时间复杂度高达为 O(n ^ 3)。而空间复杂度也不甘示弱 O(n ^ 2)。大多数情况下是不满足题目需求的。
3、Dijkstra 算法
① 介绍
Edsger Wybe Dijkstra 老先生于 1959 年提出的这个算法，属于单源最短路径算法。主要特点是以源点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止，是最具代表性的最短路算法之一。
Dijkstra 算法要求图中不存在负权边，不然不能求得正确答案。
② 核心思想
将图中结点集合分成两组，一组为已求出最短路长度的结点集合，用集合 S 表示，另一组为未求出的，用集合 U 表示。将源点放入集合 S，其到源点的最短路长度显然为 0。每次从集合 U 中按照最短路长度从小到大取出一个结点，更新其他相邻结点的最短路长度，并将其加入集合 S，直到所有结点均在集合 S 中，即处理完毕。
③ 举例
暂略。
④ 实现
定义一个数组 dis[i]，表示从源点到结点 i 的当前最短路长度。先进行初始化，i 为源点时，dis[i] = 0；i 不是源点时，将其初始化为 +∞，表示默认不可达。定义一个数组 vis[i]，表示结点 i 是否在集合 S 中。
从集合 U 中取出当前 dis 值最小的结点 o（第一次取显然为源点本身），对于所有与结点 o 相邻的结点 v，判断从源点经过结点 o 最终到该点的路径长度是否比原先记录的当前最短路长度更小，即判断 dis[v] > dis[o] + w，w 表示结点 o 和结点 v 之间边的边权。是否满足如果是，则更新该长度。
重复上述步骤，直到集合 U 中没有元素，表示所有结点均已求出最短路长度。
⑤ 核心代码
1 memset(dis, INF, sizeof(dis)); 2 dis[s] = 0; 3 4 for (int i = 1; i <= n; i++) { 5 int mi = INF, o; 6 for (int j = 1; j <= n; j++) 7 if (!vis[j] && dis[j] < mi) 8 mi = dis[j], o = j; 9 vis[o] = 1; 10 for (int x = h[o]; x; x = e[x].nxt) { 11 int v = e[x].v; 12 if (!vis[v] && dis[o] + e[x].w < dis[v]) 13 dis[v] = dis[o] + e[x].w; 14 } 15 }
⑥ 堆优化 Dijkstra 算法
上面介绍的是最基础的 Dijkstra 算法，不难看出其时间复杂度为 O(n ^ 2)，而其实它的优化方式很多，优化程度也各异。下面主要介绍堆优化。
> 堆优化
> 优先队列优化
> 线段树优化
> 斐波那契堆优化
⑦ 优点
> 时间复杂度优秀，尤其在使用了各类优化后，能适用于许多数据量大的情况；
> 适用面广，难以被卡数据。
⑧ 缺点
> 无法处理边权出现负数的情况；
> 如果需要把所有点先后作为源点来求解的话，效率不明显优于 Floyd 算法。
4、Bellman-Ford算法（施工中）
5、SPFA 算法（施工中）
6、Johnson 算法（施工中）
