[知识点] 8.2 图的存储与遍历
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前言
写到这里，不免想起当年高一的 NOIP2014 因为把邻接链表给写错了而差 5 分错过一等奖导致一路再起不能。
子目录列表
1、概述
2、边存储
3、邻接矩阵
4、邻接表
5、图的遍历
8.2 图的存储与遍历
1、概述
数据结构往往有两种存储方式 —— 顺序和链式。顺序采用数组，链式多采用链表，图虽然结构复杂，但其实也是以这两种思路对其进行存储，只不过更为麻烦。
首先，图的读入方式基本上是给定图的点数 n 和边数 m，然后对于 m 条边，每条边给定 u 和 v。
下面以有向赋权图举例（无向图直接视作双向边即可）
2、边存储
① 概念
直接将给定的 m 组 (u, v) 用数组存下来。
② 示例
③ 优劣势
优势：
在最小生成树（请参见：8.3 最小生成树）中的 Kruskal 算法中，因为需要将边按边权排序，需要直接存边。
劣势：
遍历效率极低，时间复杂度高达 O(n * m)，除特别需求基本不会采用。
④ 代码
void add(int o, int _u, int _v, int _w) { u[o] = _u, v[o] = _v, w[o] = _w; }
3、邻接矩阵
① 概念
使用一个二维数组 a 来存储边，其中 a[u][v] = 1（无权图）/ 权值（赋权图） 时表示 u 和 v 之间存在一条边，= 0 时则不存在。根据权值范围，也可以用 -1 或其他方式表示不存在边。属于顺序存储结构。
② 示例
③ 优劣势
优势：
构建简单，能 O(1) 查询两点之间是否存在边。
劣势：
空间复杂度过高 —— O(n ^ 2)，尤其在稀疏图中浪费了大量空间，n 在 5000+ 时空间就高达 128MB 的上限了。同时，邻接矩阵无法判断重边，遍历效率 O(n ^ 2) 同样不理想。
④ 代码
void add(int u, int v, int w) { a[u][v] = w; }
4、邻接表
① 概念
使用 n 个可动态调整元素的数据结构构成的数组来存边，其中第 u 个数组的第 i 个元素表示以点 u 为起点的第 i 个终点。如果是赋权图，则需要使用结构体或类来同时存储终点与边权，必要的话可以存更多信息。属于链式存储结构。
对于 C++，可以使用 STL 中的 vector；普适性更强的则是使用邻接链表（链式前向星），即使用 n 个链表来存储。
② 示例
③ 构建步骤
以使用链表为例。首先，对每个读入的边赋予一个编号 [1, m]，以便于链表的建立与访问。建立一个类 Edge，存储每条边的终点 v，边的权值 w，以及预留的链表中后继边的指针 nxt（不需要使用指针变量，但本质上是指针）。建立一个 h 数组，其中 h[i] 表示以结点 i 为起点的边的链表头编号，初始为 0。每读入一条边 (u, v)，则更新第 u 条链表，将边存入 Edge 并链到给链表的链表头，其后继边的编号即原本链表头的边的编号 h[u]，再更新链表头编号 h[u] 为当前的 Edge。
觉得麻烦的可以使用 vector，效率会较低，但更易理解。
④ 优劣势
优势：
基本能应用到所有场合，遍历时间复杂度 O(n + m)，空间复杂度 O(m) 都是无与伦比的。
劣势：
构建与遍历等操作使用起来会比邻接矩阵麻烦，不能 O(1) 查询边的存在。
其他：
如果需要对以某个点为起点的所有出边进行某种排序，则只能使用 vector。
⑤ 代码（使用链表）
1 class Edge { 2 public: 3 int v, w, nxt; 4 } e[MAXM]; 5 6 void add(int u, int v, int w) { 7 tot++, e[tot] = (Edge) {v, w, h[u]}, h[u] = tot; 8 }
5、图的遍历
在第三章的 3.1 DFS / BFS 搜索 中，我们已经介绍了 DFS / BFS，广义上它们用于进行各种搜索，而狭义本属于树与图的一种遍历算法，这里再以图的视角回顾一次。
DFS，深度优先搜索，指在对树或图的遍历中，优先访问深度更深的结点。对于树而言，其实就是先序遍历，这里不提；对于图而言，DFS 相当于每次访问到一个新的结点后，马上访问其第一个后继结点，直到没有后继再回溯，再访问下一个后继结点，每次访问打上访问标记。
BFS，深度优先搜索，指在对树或图的遍历中，优先访问当前深度的结点。对于树而言，其实就是层次遍历，这里不提；对于图而言，DFS 相当于每次访问到一个新的结点后，会将其后继结点全部访问一次，再逐一访问其后继结点，每次访问打上访问标记。
以上面的图为例，体现 DFS 与 BFS 的访问顺序的不同（假设从结点 1 开始访问）：
以邻接链表为图的存储方式，两种算法时间复杂度均为 O(n + m)，空间复杂度均为 O(n)。
当然，遍历只是一个框架，实际运用中，是在遍历的过程中求得图上的各种信息以输出或进行后续操作，比如求最短路径，连通块，最小环等等。
下面给出 DFS 与 BFS 最基础的遍历代码：
1 #include <bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 4 #define MAXN 1005 5 #define MAXM 10005 6 7 int h[MAXN], tot, n, m, u, v, w, vis[MAXN]; 8 9 class Edge { 10 public: 11 int v, w, nxt; 12 } e[MAXM]; 13 14 void add(int u, int v, int w) { 15 tot++, e[tot] = (Edge) {v, w, h[u]}, h[u] = tot; 16 } 17 18 void dfs(int o) { 19 for (int x = h[o]; x; x = e[o].nxt) { 20 int v = e[x].v; 21 if (!vis[v]) vis[v] = 1, dfs(v); 22 } 23 } 24 25 void bfs() { 26 int head = 1, tail = 2, q[MAXN]; 27 q[1] = vis[1] = 1; 28 while (head != tail) { 29 int o = q[head]; 30 for (int x = h[o]; x; x = e[o].nxt) { 31 int v = e[x].v; 32 if (!vis[v]) { 33 vis[v] = 1; 34 q[tail] = v, tail++; 35 } 36 } 37 head++; 38 } 39 } 40 41 int main() { 42 cin >> n >> m; 43 for (int i = 1; i <= m; i++) { 44 cin >> u >> v >> w; 45 add(u, v, w), add(v, u, w); 46 } 47 vis[1] = 1, dfs(1); 48 memset(vis, 0, sizeof(vis)); 49 bfs(); 50 return 0; 51 }
