[知识点] 8.1 图的简介与相关概念

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前言

图其实也是一种数据结构，但其所涵盖的内容和应用相当广泛，所以单独作为一章来介绍。

子目录列表

1、图与图论

2、图的相关概念

 

8.1 图的简介与相关概念

1、图与图论

线性表中，元素和元素之间只存在线性关系，即前驱或后继；树形结构中，元素存在层次差别，但元素和元素之间只存在层次间的关系，即父子关系。

图（Graph），是一种比线性表和树结构更为复杂的数据结构，其元素之间的关系无任何限制，可操作性很强。

图的应用非常广泛，已经渗入到诸如数学、计算机科学、语言学、逻辑学等等学科中。

图论（Graph theory）是以图为研究对象，属于数学中的一个分支理论。

 

2、图的相关概念

图是一个二元组 G = (V, E)，其中 V 是点集，非空集；E 是边集，可以为空集。

对于 V 中的每个元素，称作结点（Node）；E 中的每个元素，是相连两个结点的边（Edge）。

① 有限图与无限图

有限图：V, E 都是有限集合；

无限图：V 或 E 是无限集合；

② 无向图，有向图与混合图

E 中的每个元素 —— 边，是一个二元组 (u, v)，其中 u, v ∈ V。设 e = (u, v)，则 u 和 v 称为 e 的端点（Endpoint）。

无向图：对于图 G，所有的 e 为无序二元组，即 (u, v) 与 (v, u) 等价，则称 G 为无向图。其所有的边称为无向边（Undirected edge）；

有向图：对于图 G，所有的 e 为有序二元组，即 (u, v) 与 (v, u) 不等价，则称 G 为有向图。(u, v) 也写作 u -> v，称为有向边（Directed edge）或弧（Arc）。其中，u 称为该边的起点，v 为终点；

混合图：既有有向边，又有无向边的图。

③ 权，无权图，赋权图与正权图

权：指图中的边或点上被赋予的值。权值如果在边上，则称为边权；如果在点上，则称为点权。

无权图：所有的 e 没有权值；

赋权图：所有的 e 被赋予一个数作为权值；

正权图：所有的 e 的权值均为正实数。

④ 关联的与相邻的

关联的：如果点 v 是边 e 的一个端点，则 v 和 e 是关联的（Incident）；

相邻的：如果点 u 和点 v 之间存在边 (u, v)，则 u 和 v 是相邻的（Adjacent）。

⑤ 度，最小 / 最大度，出 / 入度

度：与点 v 关联的边的个数称为该点的度（Degree），记作 d(v)；

握手定理：对于任何无向图 G = (V, E)，其结点度数和为边数的两倍；

最小度：所有结点的度数的最小值称为最小度；

最大度：所有结点的度数的最小值称为最大度；

入度：对于结点 v，以其为起点的边的个数称为该点的入度（In-degree）；

出度：对于结点 v，以其为终点的边的个数称为该点的出度（Out-degree）。

⑥ 自环与重边

自环：对于 E 中的边 e = (u, v)，若 u = v，则 e 被称作自环（Loop）；

重边：对于 E 中的两条边 e1 = e2 = (u, v)，它们被称作一组重边（Multiple edge）。特别地，对于无向图，e1 = (u, v), e2 = (v, u) 也算作一组重边。

⑦ 简单图与多重图

简单图：不包含自环和重边的图称作简单图（Simple graph）；

多重图：包含自环或重边的图称作多重图（Multigraph）。

⑧ 途径，路径，回路与环

途径：以点为首尾，由点与边交错排列的序列，如：v0, e1, v1, e2, ..., ek, vk，对于 ei，它的两个端点分别为 v(i - 1), vi；

长度：对于无权图，途径的边的条数为长度；对于赋权图，途径的边的权值之和称为长度。题目可能对其有其他定义；

简单路径：对于途径 w，边两两不同，点除了首尾（v0, vk）也两两不同，则 w 为一条简单路径（Simple path）。题目中可能出现路径（Path）的称呼，它可能指途径也可能指简单路径，具体情况具体分析；

回路：对于途径 w，如果 v0 = vk，则 w 为一条回路（Circuit）；

简单回路：对于简单路径 w，如果 v0 = vk，则 w 为一条简单回路（又称环，简单环，Cycle）。

⑨ 子图

子图：对于图 G = (V, E)，若存在另一张图 H = (V', E')，且 V', E' 分别是 V, E 的子集，则称 H 为 G 的子图（Subgraph）。

⑩ 连通性

> 无向图

对于无向图 G = (V, E)，u, v ∈ V，若存在任意一条途径使得 v0 = u, vk = v，则称 u 和 v 是连通的（Connected）；如果任意两个结点均是连通的，则称 G 为连通图；

设 H 是 G 的一个子图，则称 H 为 G 的连通子图；设 F 是 G 的一个连通子图，且 H 是 F 的连通子图，且 H ≠ F。如果不存在这样的 F，则称 H 为 G 的一个连通块（又称连通分量，极大连通子图，Connected component）。

> 有向图

对于有向图 G = (V, E)，u, v ∈ V，若存在任意一条途径使得 v0 = u, vk = v，则称 u 可达 v；如果所有结点两两互相可达，则称 G 是强连通的（Strongly connected）；

如果将 G 的有向边全部替换成无向边而使 G 成为了连通图，则称 G 为弱连通的（Weakly connected）；

弱连通分量（极大弱连通子图）和强连通分量（极大强连通子图）同无向图的连通分量（极大连通子图）概念类似。

⑪ 割点与桥

对于连通图 G = (V, E)，若存在 V 的子集 V'，从 G 中删去 V' 中的点后使得 G 不再是连通图，则称 V' 是 G 的一个点割集（Vertex cut）。如果 V' 只有 1 个结点，则 V' 又被称为割点（Cut vertex）。

对于连通图 G = (V, E)，若存在 E 的子集 E'，从 G 中删去 E' 中的边后使得 G 不再是连通图，则称 E' 是 G 的一个边割集（Edge cut）。如果 E' 只有 1 条边，则 E' 又被称为桥（Bridge）。

⑫ 稀疏图与稠密图

稀疏图：对于图 G，若其边数远小于点数的平方，则称 G 为稀疏图（Sparse graph）；

稠密图：对于图 G，若其边数接近点数的平方，则称 G 为稠密图（Dense graph）。

⑬ 补图与反图

对于无向简单图 G = (V, E)，假设 G' = (V', E')，若 V = V'，且 E ∩ E' = ∅，则称 G' 为 G 的补图；

对于有向图 G = (V, E)，假设 G' = (V', E')，若 V = V'，且 E' = {(v, u) | (u, v) ∈ E}，即 E 中的所有边反向得到 E'，则称 G' 为 G 的反图。

⑭ 完全图与有向完全图

完全图：对于无向简单图 G，任意两点间均有边，则称 G 为完全图；

有向完全图：对于有向图 G，任意两点间均有方向不同的两条边，则称 G 为有向完全图；

⑮ 图与其他数据结构

图与链：若图 G 的所有边恰好构成一条简单路径，则称 G 为链；

图与树：若无向连通图 G 不含环，则称 G 为树；如果恰好包含一个环，则称其为基环树。

更多关于树与图的关系，请参见：7.3  树与二叉树 中的树与图部分。

⑯ 二分图与完全二分图

二分图：对于图 G = (V, E)，若将 V 分成 V1, V2，两部分内部均没有边，则称 G 为二分图；如果任意不在同一部分的点之间均存在边，则称 G 为完全二分图。

 

其他没有提到的概念：阶，邻域，孤立点，叶结点，偶点，奇点，支配点，k-正则图，可图化，可简单图化，迹，导出子图，生成子图，k-因子，闭合子图，k-点连通的，点连通度，局部点连通度，k-边连通的，边连通度，局部边连通度，点双连通，边双连通，点双连通分量，边双连通分量，零图，竞赛图，环图，星图，轮图，基环外向树，基环内向树，基环森林，仙人掌，沙漠，平面图，同构，支配集，边支配集，独立集，匹配，边独立集，最大匹配，最大权匹配，极大匹配，完美匹配，准完美匹配，交替路径，增广路径，点覆盖，边覆盖，团，极大团。