GAMES101系列笔记一 图形学概述与线性代数入门
概述+线性代数
为什么学习图形学？
Computer Graphics is AWESOME!
主要涉及内容：
- 光栅化
- 曲线和网格
- 光线追踪
- 动画与模拟
Differences between CG and CV:
线性代数回顾
向量（Vectors）
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方向和长度
模长：\(||\vec{a}||\)
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没有确定的起点
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单位向量：模长为1
单位化向量： \(\hat{a} = \vec{a}/||\vec{a}||\)
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向量求和：
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列向量，转置，模长的计算方式
\(\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} \quad \boldsymbol{A}^T = \begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix} \quad ||\boldsymbol{A}|| = \sqrt{x^2+y^2}\)
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点乘（Dot/scalar Product）
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点乘定义：
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = ||\vec{a}||\,||\vec{b}||cos\theta\)
\(cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{||\vec{a}\||\,||\vec{b}||}\)
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For unit vectors:
\(cos\theta = \hat{a}\cdot\hat{b}\)
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交换律、结合律、数乘
直角坐标系下,计算更为方便：
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2D:
\(\vec{a}\cdot\vec{b} = \begin{pmatrix}x_a \\y_a\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_b \\y_b\end{pmatrix} = x_ax_b+y_ay_b.\)
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3D:
\(\vec{a}\cdot\vec{b} = \begin{pmatrix}x_a \\y_a\\z_a\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_b \\y_b\\z_b\end{pmatrix} = x_ax_b+y_ay_b+z_az_b.\)
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投影:
\(\vec{b}_\perp: \vec{b}\) 在 \(\vec{a}\) 上的投影;
\(\vec{b}_\perp = k\hat{a};\)
\(k = ||\vec{b}_\perp|| = ||\vec{b}||cos\theta\)
- 点乘可以告诉我们前和后的关系
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叉乘（Cross\Vector product）
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两个向量相乘，得到一个与这两个向量都相等的向量；
\(\vec{a}\times\vec{b} = -\vec{b}\times\vec{a}\)
\(\vec{a}\times\vec{a} = \vec{0}\)
\(||\vec{a}\times\vec{b}|| = ||\vec{a}||\,||\vec{b}||sin\phi\)
方向由右手螺旋定则确定
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笛卡尔坐标系下的计算方法：
\(\vec{a}\times\vec{b} = \begin{pmatrix}y_az_b-y_bz_a \\ z_ax_b - x_az_b \\ x_ay_b-y_ax_b\end{pmatrix} = A*b = \begin{pmatrix}0 & -z_a& y_a \\ z_a & 0 & -x_a \\ -y_a & x_a & 0\end{pmatrix}\)
\(A\) 为 \(\vec{a}\) 的对偶矩阵。
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叉乘在图形学中的作用
判定左和右（一次叉乘），判断内和外（三次叉乘）
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正交系
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三个单位向量
$ ||\vec{u}|| = ||\vec{v}|| = ||\vec{w}|| = 1$
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两两垂直
\(\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{w} = \vec{u}\cdot\vec{w}\)
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右手系
\(\vec{w} = \vec{u}\times\vec{v}\)
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任何一个向量可以由这三个向量表示
\(\vec{p} = (\vec{p}\cdot\vec{u})\vec{u} + (\vec{p}\cdot\vec{v})\vec{v} + (\vec{p}\cdot\vec{w})\vec{w}\)
因为\(\vec{u}\ \vec{v}\ \vec{w}\) 都是单位向量，所以可以用 \(\vec{p}\) 在其上的投影乘以其本身来得到一个维度的分量。
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矩阵（Matrices）
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矩阵乘矩阵
维度需满足：
\((M\times N)(N\times P) = (M\times P)\)
（3 2）（2 4）= （3 4）
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不符合交换律。但符合结合律和分配律。
\((AB)C = A(BC)\)
\(A(B+C) = AB + AC\)
\((A+B)C = AC + BC\)
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矩阵向量乘
按 \(y\) 轴镜像
\(\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-x \\ y\end{pmatrix}\)
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矩阵的转置
\((AB)^T = B^TA^T\)
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单位矩阵
\(I_{3\times3} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\)
\(AA^{-1} = A^{-1}A = I;\quad (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)
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向量乘法的矩阵形式
\(\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{a}^T\vec{b}\)
\(\vec{a}\times\vec{b} = \begin{pmatrix}y_az_b-y_bz_a \\ z_ax_b - x_az_b \\ x_ay_b-y_ax_b\end{pmatrix} = A^*b = \begin{pmatrix}0 & -z_a& y_a \\ z_a & 0 & -x_a \\ -y_a & x_a & 0\end{pmatrix}\)
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