<学习笔记> 二分图

二分图最大匹配:#

定义:给定一个二分图 G,即分左右两部分,各部分之间的点没有边连接,要求选出一些边,使得这些边没有公共顶点,且边的数量最大。

方法:Dinic

二分图的最小顶点覆盖#

定义:假如选了一个点就相当于覆盖了以它为端点的所有边。最小顶点覆盖就是选择最少的点来覆盖所有的边。

定理:图最小顶点覆盖 = 二分图最大匹配数

二分图的最大独立集#

定义:选出一些顶点使得这些顶点两两不相邻,则这些点构成的集合称为独立集。最大独立集为包含顶点数最多的独立集。

定理:最大独立集 = 所有顶点数 - 最小顶点覆盖

二分图的完美匹配#

可以覆盖所有点的匹配,所以完美匹配就是最大匹配,而最大匹配比一定是完美匹配。

Hall 定理#

用处:判断二分图是否存在完美(饱和)匹配

对于二分图 G,设左部点 VL 的子集 T 的邻域 NG(T),则二分图对左部点存在饱和匹配的充要条件是:

TVL,|T||NG(T)|

就是左侧任意一个左侧点集向另外一个点集连边,任意这样的子集所能连到的对应的节点集合大小大于当前集合,就存在完美匹配。

二分图的最大团#

定义: 团:选出一些点,使其两两之间都有边。 最大团:点数最大的团

定理:二分图的最大团 = 补图的最大独立集

补图的定义是:对于二分图中左边一点x和右边一点y,若x和y之间有边,那么在补图中没有,否则有。

感性理解:最大独立集为两两之间没有边,那么补图的最大独立集说明在原图中两两之间有边,那么就是原图的最大团

作者:bloss

出处:https://www.cnblogs.com/jinjiaqioi/p/17785652.html

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