<学习笔记> 拉格朗日插值

拉格朗日插值#

就像三个点可以确定一个二次函数,呢么 n+1 个点可以确定一个 n 项式。

问题:给定 n+1 个点以及对应的函数值,求 fk

高斯消元的复杂度 n3,拉格朗日插值可以 n2 解决这个问题

表达式:f(x)=i=1nyijixxjxixj

考虑构造一个函数 Li(x),使得 Li(xi)=1,对于任意的 1jnji,Li(xj)=0

这样使 f(x)=i=1nyiLi(x) 对于任意的 1in 都成立。

则:Li(x)=jixxjxixj,当 x=xi 时函数值为 1,否则为 0

故表达式为 f(x)=i=1nyiLi(x)=i=1nyijixxjxixj,复杂度 O(n2)

横坐标是连续整数的拉格朗日插值#

f(x)=i=1nyij=1n(xj)(xi)(1)ni(i1)!(ni)!

预处理完是 O(n)

所以假如让你求 1nik(n1015,k106)

老祖宗告诉我们这是个以 n 为自变量的 k+1 次多项式。(其实我也不会)那么可以计算出 k+2 项的值,然后进行 ,复杂度 O(k)

参考资料: https://www.cnblogs.com/cccomfy/p/17743030.html

作者:bloss

出处:https://www.cnblogs.com/jinjiaqioi/p/17773431.html

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