<学习笔记> 拉格朗日插值

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拉格朗日插值#

就像三个点可以确定一个二次函数，呢么 $n+1$ 个点可以确定一个 $n$ 项式。

问题：给定 $n+1$ 个点以及对应的函数值，求 $f_k$。

高斯消元的复杂度 $n^3$，拉格朗日插值可以 $n^2$ 解决这个问题

表达式：$f(x)=\sum _{i=1}^n{y}_i\prod _{j\ne i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$

考虑构造一个函数 $L_i(x)$,使得 $L_i(x_i)=1$，对于任意的 $1\le j\le n$ 且 $j\ne i,L_i(x_j)=0$

这样使 $f(x)=\sum _{i=1}^n{y}_i{L}_i(x)$ 对于任意的 $1\le i\le n$ 都成立。

则：$L_i(x)=\prod _{j\ne i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$，当 $x=x_i$ 时函数值为 $1$，否则为 $0$。

故表达式为 $f(x)=\sum _{i=1}^n{y}_i{L}_i(x)=\sum _{i=1}^n{y}_i\prod _{j\ne i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$，复杂度 $O(n^2)$。

横坐标是连续整数的拉格朗日插值#

$$f(x)=\sum _{i=1}^n{y}_i\frac{\prod _{j=1}^n(x-j)}{(x-i)(-1{)}^{n-i}(i-1)!(n-i)!}$$

预处理完是 $O(n)$。

所以假如让你求 $\sum _1^n{i}^k(n\le {10}^{15},k\le {10}^6)$

老祖宗告诉我们这是个以 $n$ 为自变量的 $k+1$ 次多项式。（其实我也不会）那么可以计算出 $k+2$ 项的值，然后进行 $\mathrm{拉}\mathrm{格}\mathrm{朗}\mathrm{日}\mathrm{插}\mathrm{值}\mathrm{算}$，复杂度 $O(k)$。

参考资料： https://www.cnblogs.com/cccomfy/p/17743030.html