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插板法#

问题一：现有 $n$ 个完全相同的元素，要求将其分为 $k$ 组a，保证每组至少有一个元素，一共有多少种分法？

考虑拿 $k - 1$ 块板子插入到 $n$ 个元素两两形成的 $n - 1$ 个空里面。

所以答案就是

(\binom{n - 1}{k - 1})

问题二：如果问题变化一下，每组允许为空呢？

显然此时没法直接插板了，因为有可能出现很多块板子插到一个空里面的情况，非常不好计算。

我们考虑创造条件转化成有限制的问题一，先借 $k$ 个元素过来，在这 $n + k$ 个元素形成的 $n + k - 1$ 个空里面插板，答案为

(\binom{n + k - 1}{k - 1})

再思考一下，若是从 $n$ 个数字中选可重复的 $m$ 个数的方案数，这与问题二类似

我们把 $m$ 个元素中插入 $n - 1$ 个隔板，我们从这 $n + m - 1$ 个元素中选 $n - 1$ 个元素作为隔板,第 $i - 1$ 个隔板和第 $i$ 个隔板之间的元素个数即为第 $i$ 个数字所选的个数。也就是将 $m$ 个元素分为 $n$ 组，且可以为空。

(\binom{m + n - 1}{n - 1})

组合恒等式#

1#

(\binom{n + m - 1}{n - 1})

$m$ 的补集与 $m$ 的方案数是相同的。

加法公式#

\begin{matrix} (2) & (\binom{n}{m}) = (\binom{n - 1}{m}) + (\binom{n - 1}{m - 1}) \end{matrix}

组合推理:考虑选不选第 $n$ 个，不选的情况为 $(\binom{n - 1}{m})$ ，选的情况为 $(\binom{n - 1}{m - 1})$

上指标求和法则#

\begin{matrix} (13) & \sum_{i = 0}^{n} (\binom{i}{k}) = (\binom{n + 1}{k + 1}) \end{matrix}

可以利用加法公式，通过归纳法证明

(\binom{5}{3})

= (\binom{4}{2}) + (\binom{4}{3})

= (\binom{4}{2}) + (\binom{3}{2}) + (\binom{3}{3})

= (\binom{4}{2}) + (\binom{3}{2}) + (\binom{2}{2}) + (\binom{2}{3})

= (\binom{4}{2}) + (\binom{3}{2}) + (\binom{2}{2}) + (\binom{1}{2}) + (\binom{1}{3})

= (\binom{4}{2}) + (\binom{3}{2}) + (\binom{2}{2}) + (\binom{1}{2}) + (\binom{0}{2}) + (\binom{0}{3})

现在 $(\binom{0}{3})$ 为零，所以不需要再推，其实 $(\binom{0}{2})$ $(\binom{1}{2})$ 也为零，但保留的话可以清晰看出一般形式。

下指标求和法：莫队

组合推理：在 $n + 1$ 个球里拿 $k + 1$ 个为 $(\binom{n + 1}{k + 1})$ ，最后一个拿的是第 $i$ 个，则情况数为 $(\binom{i}{k})$ ,累加即为所求。

平行求和法#

\begin{matrix} (14) & \sum_{i = 0}^{n} (\binom{m + i}{i}) = (\binom{n + m + 1}{n}) \end{matrix}

证明：

\begin{aligned} \sum_{i = 0}^{n} (\binom{m + i}{i}) & = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{m + i}{m}) \\ = \sum_{i = m}^{n + m} (\binom{i}{m}) + 0 \\ = \sum_{i = m}^{n + m} (\binom{i}{m}) + \sum_{i = 0}^{m - 1} (\binom{i}{m}) \\ = \sum_{i = 0}^{n + m} (\binom{i}{m}) \\ = (\binom{n + m + 1}{m + 1}) = (\binom{n + m + 1}{n}) \end{aligned}

给道例题 BZOJ 4403序列统计

作者：bloss

出处：https://www.cnblogs.com/jinjiaqioi/p/17494893.html

版权：本作品采用「署名-非商业性使用-相同方式共享 4.0 国际」许可协议进行许可。

posted @ 2023-06-20 21:36 _bloss 阅读(59) 评论(3) 编辑收藏举报

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