经济学笔记

拟线性偏好

拟线性偏好是指 \(u=v_1(x_1)+v_2(x_2)\) ，其中 \(v_1(x_1)\) 是线性函数，\(v_2(x_2)\) 是非线性函数（当 \(v_2\) 也为线性时，为完全替代偏好）。
预算约束为 \(m=p_1x_1+p_2x_2\)，预算线斜率为

\[\frac{dx_2}{dx_1}=-\frac{\frac{\partial m}{\partial x_1}}{\frac{\partial m}{\partial x_2}}=-\frac{p_1}{p_2} \]

无差异曲线切线斜率为

\[\frac{dx_2}{dx_1}=-\frac{MU_1}{MU_2} \]

于是

\[\frac{p_1}{p_2}=\frac{MU_1}{MU_2} \]

因为 \(v_1(x_1)\) 是线性的，所以 \(MU_1\) 与 \(x_1\) 无关，而 \(MU_2\) 与 \(x_2\) 有关，于是 \(x_2\) 可用 \(p_1\) 与 \(p_2\) 表示。代入预算约束可消去 \(x_2\)，故 \(x_2\) 与收入无关（\(x_1\) 大于零时）。也就是说，收入足够多时，非线性 ⇒ 无关收入。如图：

补偿变化和等价变化

补偿变化（compensating variation）：在价格变化后，（上图中是商品 1 涨价）要使消费者的境况同他在价格变化以前的境况一样好，必须给他的货币数额。
等价变化（equivalent variation）：在价格变化以前必须从消费者那里取走多少货币，才能使他的境况同在价格变化以后的境况一样好。
决策（例如征税）中，常采用等价变化：

1. 等价变化衡量的是当前价格下的收入变动，并且用货币的现值比用假想的价格判断容易。
2. 比较不同政策时，使用补偿变化方法的话，不同的政策基价不同；而等价变化的基价统一。
   
   

\[EV\le\Delta CS\le CV \]

这个式子不会证，只知道当偏好拟线性时\(EV=CV\)，因为这时候两条直线的纵向距离跟选用 CV 还是 EV 无关。

显示偏好

1. 显示偏好弱公理（WARP）：如果（x1,x2）直接显示偏好于（y1,y2），且（x1,x2）和（y1,y2）是两个不同的商品束，则（y1,y2）就不可能直接显示偏好于（x1,x2）。
2. 显示偏好强公理（SARP）：如果（x1,x2）直接或间接显示偏好于（y1,y2），且（x1,x2）和（y1,y2）是两个不同的商品束，则（y1,y2）就不可能直接或间接显示偏好于（x1,x2）。
   
   如此题，满足 WARP，却不满足 SARP。考虑 WARP 时，不用考虑“传递性”。
   利润最大化有点点跟显示偏好相近，例如，下图的三个黑点是满足利润最大化的，因为对于穿过某个点的黑线（等利润线），其他点都在这条黑线下方。如果把 40 的黑线改成红线，就不满足利润最大化了。

恩格尔曲线

恩格尔曲线的横坐标是商品数量，纵坐标是收入。位似偏好的收入提供曲线和恩格尔曲线都是过原点的直线。$$u=x+\sqrt{y}$$不是位似（homothetic）偏好

公地悲剧

	\(X_1\)	\(X_2\)	\(\pi_1\)	\(\pi_2\)
1	200	100	10000	10000
2	150	150	20000	5000
3	125	100	25000	10000

税收返还

	预算线	汽油消费量
初始	\(l_1\)	\(X_1\)
征税后	\(l_2\)	\(X_2\)
退税后	\(l_3\)	\(X_3\)
\(l_1\) 与 \(l_2\) 交点横坐标是 \(X_2\)。汽油需求量随价格增加而下降，\(X_2<X_1\)。又根据弱显示偏好公理，\(X_3<X_1\)。取决于无差异曲线簇的形状和分布，最终消费者的福利可能大于、等于或小于初始的。

网络外部性

正的：攀比效应、社交网络。使需求弹性变大
负的：虚荣效应（奢侈品）、攀比。使需求弹性变小
思考：如何画图？

易混淆的曲线

问题	固定	横轴	纵轴	曲线	斜率	直线	推导得出
-	另一种商品	商品	效用	效用函数曲线	边际效用	-	-
利润最大化	另一种要素	要素	产量	生产函数曲线	边际产量	等利润线	要素需求曲线
效用最大化，预算最小化	效用	商品	商品	无差异曲线	边际替代率	预算约束线	需求曲线
产量最大化，成本最小化	产量	要素	要素	等产量曲线	边际技术替代率	等成本线	条件要素需求曲线
利润最大化	成本	产品	产品	生产可能性边界	边际转换率	等利润线	-
要素需求曲线：产品价格既定；条件要素需求曲线：产量既定
效用和产量对应~~~
最后一行是32章生产
显示偏好弱公理 WARP ~ 利润最大化的弱公理 WAPM ~ 成本最小化弱公理 WACM

宏观

• \(S=I\) 是国民储蓄
• 杠杆率和货币乘数
• 小型开放经济模型中的世界利率是实际利率
• Workers unemployed as a result of wage rigidity are waiting for a job to become available.
• If the rate of separation is 0.02 and the rate of job finding is 0.08 but the current unemployment rate is 0.10, then the current unemployment rate is ______ the equilibrium rate, and in the next period it will move ______ the equilibrium rate. (At equilibrium: \(S*U=F*E\))
• The introduction of a stylish new line of Toyotas, which makes some consumers prefer foreign cars over domestic cars, will, according to the Mundell–Fleming model with floating exchange rates, lead to no change in income or net exports.
• In the Mundell–Fleming model with a fixed exchange rate, a rise in the world interest rate will lead income to fall while net exports are unchanged. 世界利率上升，资本净流出增加，汇率有贬值的压力。如果是浮动汇率制，净出口增加，国际收支回复平衡，收入不变。如果是固定汇率制，就必须采取紧缩性货币政策，收入下降；而汇率不变，净出口不受直接影响（虽然收入下降会进一步导致进口减小）。
• According to the sticky-price model, other things being equal, the greater the proportion, s, of firms that follow the sticky-price rule, the greater the increase in output in response to an unexpected price increase.
• net marginal product of capital 资本的净边际产量 \(MPK-\delta\)

通货紧缩的稳定和不稳定效应

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稳定效应

1. 对于给定的 \(M\)，价格下降，实际货币余额 \(M/P\) 上升，LM 曲线右移，收入增加
2. 庇古效应：随着实际货币余额增加，消费者感到更加富有，支出更多，引起 IS 曲线右移，收入增加

不稳定效应

1. 债务—通货紧缩理论（未预期到的价格下降的效应）：债务人变穷，债权人变富；债务人有更高的消费倾向，因而二者的总支出减少。
2. 预期到了的通货紧缩的效应
   IS 曲线，实际利率。\(Y=C(Y-T)+I(i-E\pi)+G\)
   LM曲线，名义利率。$M/P=L(i,Y)
   
   当企业预期通货紧缩时，不愿意借款投资，因为以后得用更值钱的人民币来还债。

In the United States, the capital share of GDP is about 30 percent, the average growth in output is about 3 percent per year, the depreciation rate is about 4 percent per year, and the capital–output ratio is about 2.5. Suppose that the production function is Cobb–Douglas, so that the capital share in output is constant, and that the United States has been in a steady state.
a. What must the saving rate be in the initial steady state?
b. What is the marginal product of capital in the initial steady state?
c. Suppose that public policy raises the saving rate so that the economy reaches the Golden Rule level of capital. What will the marginal product of capital be at the Golden Rule steady state? Compare the marginal product at the Golden Rule steady state to the marginal product in the initial steady state. Explain.
d. What will the capital–output ratio be at the Golden Rule steady state?
e. What must the saving rate be to reach the Golden Rule steady state?
这道题只能求出 \(n+g\)，不能假设 \(g=0\)。