评价类模型——层次分析法，一致性检验

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    层次分析法（The Analytic Hierarchy Process即 AHP)是由美国运筹学家、 匹兹堡大学教授T . L. Saaty于20世纪70年代创立的一种系统分析与决策的综合 评价方法，是在充分研究了人类思维过程的基础上提出来的，它较合理地解决了定性问题定量化的处理过程。

    AHP的主要特点是通过建立递阶层次结构，把人类的判断转化到若干因素两两之间重要度的比较上，从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重要度的比较上面。在许多情况下，决策者可以直接使用AHP进行决策，极大地提高了决策的有效性、可靠性和可行性，但其本质是一种思维方式，它把复杂问题分解成多个组成因素，又将这些因素按支配关系分别形成递阶层次结构，通过两两比较的方法确定决策方案相对重要度的总排序。整个过程体 现了人类决策思维的基本特征，即分解、判断、综合，克服了其他方法回避决策者主观判断的缺点。

层次分析法：建模比赛中最基础的模型之一，其主要用于解决 评价类问题（例如：选择哪种方案最好、哪位运

动员或者员工表现的更优秀）

评价类问题可用打分方法解决：

例题1：华中科技大学和武汉大学哪所学校好，考虑学习氛围、就业前景、男女比例、校园景色等因素。每个因素所占比例以及待比较的内容所占比例分配假设如下，则两所学校的评分计算方式为

使用打分法解决评价问题，只需要我们补充完成下面这张表格即可：

 

 
例题2：小明同学想出去旅游，他选择苏杭、北戴河和桂林三地之一作为目标景点。请确定评价指标、形成评价体系为其选择最合适的方案。
第一步：

 

 
第二步：构建权重表格

 根据第一步的分析内容构建如下的权重表格，其中同色的之和为1，

 

 
 如何填写上面的某种颜色的各项内容呢？例如蓝色对应的指标权重？

问题：

一次性考虑这五个指标之间的关系，往往考虑不周。

解决方法：

两个两个指标进行比较，最终根据两两比较的结果来推算出权重。

已知重要度表如下：

1、假设构建的指标权重的重要度比较矩阵如下：
 

 

假设苏杭、北戴河、桂林在景色、花费、居住、饮食、交通方面的判断矩阵分别为：

 

 
2、计算判断矩阵权重

总共三种方法计算权重：算数平均法、几何平均法、特征值法

1）、用算数平均法解决指标景色上的判断矩阵

 

 
第一步：将判断矩阵按照列归一化 （每一个元素除以其所在列的和）

第二步：将归一化的各列相加(按行求和)

第三步：将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量

公式描述如下：

 

 
求解过程如下：

 

 
2）、用几何平均法解决指标景色上的判断矩阵

几何平均法求权重也有三步：

第一步：将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量

第二步：将新的向量的每个分量开n次方

第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量

 

 
3）、用特征值法解决指标景色上的判断矩阵

 

三种方法计算出来的结果差别较小，在此选用特征值法得到的结果填入对应的判断矩阵中

 

 
按照上述方法同理计算出其他色块对应的权重，得到使用特征值法求得的权重矩阵如下，根据此矩阵， 计算出每个旅游景点的得分。

 

 
第三步：计算每个方案得分

 

 
类似的，我们可以得到北戴河得分为0.245， 桂林得分为0.455. 因此最佳的旅游景点是桂林。

    注意的问题：在第二步构造判断矩阵后要对其进行一致性检验，检验构造的矩阵是否与一致性矩阵有太大差别，接下来介绍一致性矩阵

 一致性检验

1.一致矩阵

 

 
 下图中左侧是构造的判断矩阵，右侧是其对应的一致矩阵，如果构造的判断矩阵与一致矩阵差别太大的话则不可以使用，要重新构建判断矩阵，直至通过一致性检验为止

 

 
2.一致性检验的步骤

1）、计算判断矩阵最大特征值、一致性指标CI

n是矩阵的维数，一致矩阵的最大特征值为n，当判断矩阵的最大特征值为n时，此判断矩阵为一致矩阵。

2）、根据n的大小，按照下表查找平均随机一致性指标RI

 

 
3）、计算一致性比例CR

 

 
如果CR < 0.1, 则可认为判断矩阵的一致性可以接受；否则需要对判断矩阵进行修正。修正的方法是往一致矩阵上调整，（一致矩阵各行成倍数关系）

原文链接：https://blog.csdn.net/qq_36384657/article/details/97694443