买不到的账目数 数论

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题干：

问题描述

小明开了一家糖果店。他别出心裁：把水果糖包成4颗一包和7颗一包的两种。糖果不能拆包卖。

小朋友来买糖的时候，他就用这两种包装来组合。当然有些糖果数目是无法组合出来的，比如要买 10 颗糖。

你可以用计算机测试一下，在这种包装情况下，最大不能买到的数量是17。大于17的任何数字都可以用4和7组合出来。

本题的要求就是在已知两个包装的数量时，求最大不能组合出的数字。

输入格式

两个正整数，表示每种包装中糖的颗数(都不多于1000)

输出格式

一个正整数，表示最大不能买到的糖数

样例输入1

4 7

样例输出1

17

样例输入2

3 5

样例输出2

7

额 直接提交

#include<iostream>

using namespace std;

int main()
{
    
    int a,b;
    cin>>a>>b;
    cout<<a*b-a-b<<endl;
    
}

就ac了

这里没说清楚

应该是（a，b）==1 

不能表示为  形如 x*a+y*b   x>=0 ,y>=0 的最大的整数是 a*b-a-b  

只用考虑a>1,b>1 的情形

证明： 1 首先证明，关于x，y的不定方程：  x*a+y*b=a*b-a-b    无非负整数解

反设这个方程有解，变形一下，x*a+（y+1）*b=a*b-a  ，则推出a|(y+1)*b (|是整除符号)，那么由于（a,b）=1  ,推出， a|y+1 ，由于y+1!=0, 这样y+1>=a

  带回原方程，x*a+(y+1)*b>=0*a+a*b>=ab>ab-a,   和原方程矛盾。

2  其次证明 如果n>ab-a-b  ， 方程x*a+y*b=n 一定有非负整数解。

只需证明：

取l>=1   证明a*b-a-b+l =x*a+y*b 一定有非负整数解。

先考虑如下一个方程，x*a+y*b=l  （l，不是1），有裴蜀定理，这个方程一定有无穷多组整数解，取出一组解，不妨设  x0*a-y0*b=l      x0>=1 ,y0>=0;再使得y0满足y0<=a-1  

由于所有解里面y的取值是mod a 同余的，一定可以取到0~a-1这个范围里面）

取出来了这个x0，y0以后，带回方程a*b-a-b+l =x*a+y*b ，

则 a*b-a-b+l =a*b-a-b+(x0*a-y0*b)=(a-y0-1)*b+(x0-1) *a  ， a，b的系数都是非负的了，所以解找到了。

综合1，2两部 ，ab-a-b 不可以被表示，大于ab-a-b的整数通通可以被表示

证毕