背包问题--动态规划

一、背包总结

常见的背包问题有1、组合问题。2、True、False问题。3、最大最小问题。
以下题目整理来自大神CyC，github地址：
https://github.com/CyC2018/CS-Notes/blob/master/notes/Leetcode%20%E9%A2%98%E8%A7%A3%20-%20%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92.md#0-1-%E8%83%8C%E5%8C%85
在大神整理的基础上，继续做细分的整理。分为三类。
1、组合问题：
377. 组合总和 Ⅳ
494. 目标和
518. 零钱兑换 II
2、True、False问题：
139. 单词拆分
416. 分割等和子集
3、最大最小问题：
474. 一和零
322. 零钱兑换

组合问题公式

dp[i] += dp[i-num]

True、False问题公式

dp[i] = dp[i] or dp[i-num]

最大最小问题公式

dp[i] = min(dp[i], dp[i-num]+1)或者dp[i] = max(dp[i], dp[i-num]+1)

二、01背包

问题描述：

　　给定 n 种物品和一个容量为 C 的背包，物品 i 的重量是 wi，其价值为 vi 。

问：

　　应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大？

　　分析一波，面对每个物品，我们只有选择拿取或者不拿两种选择，不能选择装入某物品的一部分，也不能装入同一物品多次。

解决办法：

　声明一个 大小为 m[n][c] 的二维数组，m[ i ][ j ] 表示 在面对第 i 件物品，且背包容量为 j 时所能获得的最大价值 ，那么我们可以很容易分析得出 m[i][j] 的计算方法，

（1）. j < w[i] 的情况，这时候背包容量不足以放下第 i 件物品，只能选择不拿 m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ]

（2）. j>=w[i] 的情况，这时背包容量可以放下第 i 件物品，我们就要考虑拿这件物品是否能获取更大的价值。

如果拿取，m[ i ][ j ]=m[ i-1 ][ j-w[ i ] ] + v[ i ]。 这里的m[ i-1 ][ j-w[ i ] ]指的就是考虑了i-1件物品，背包容量为j-w[i]时的最大价值，也是相当于为第i件物品腾出了w[i]的空间。

如果不拿，m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ] , 同（1）

究竟是拿还是不拿，自然是比较这两种情况那种价值最大。由此可得状态转移方程：

if(j>=w[i])
    m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]);
else
    m[i][j]=m[i-1][j];

实例代码：

package backpack;
//0-1 背包问题：给定 n 种物品和一个容量为 C 的背包，物品 i 的重量是 wi，其价值为 vi 。
//问：应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大？
//  分析一波，面对每个物品，我们只有选择拿取或者不拿两种选择，不能选择装入某物品的一部分，也不能装入同一物品多次。
//  解决办法：声明一个 大小为 m[n][c] 的二维数组，m[ i ][ j ] 表示 在面对第 i 件物品，且背包容量为 j 时所能获
//  得的最大价值
public class backpack01 {
    public static void main(String[] args) {
        int[] v = {0,8,10,6,3,7,2};
        int[] w = {0,4,6,2,2,5,1};
        int N=6,W=12;
        int result = MaxValue(N,W,v,w);
        System.out.print("最大价值为："+result);
    }
    public static int MaxValue(int N,int W,int[] v,int[] w){
        int[][] dp = new int[N+1][W+1];
        for(int i=0;i<=N;i++){
            dp[i][0]=0;
        }
        for(int j=0;j<=W;j++){
            dp[0][j]=0;
        }
        for(int i=1;i<=N;i++){
            for(int j=1;j<=W;j++){
                if(w[i]>j){
                    dp[i][j]=dp[i-1][j];
                }else{
                    dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
                }
            }
        }
        return dp[N][W];
    }52 }

三、完全背包问题

问题描述：

不同于01背包问题的是，每件物品可以无限取。

状态转移方程：

 dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-k*w[i]]+k*v[i]);

实例代码：

package backpack;
//  有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。
//       求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
//       输出最大价值。
public class backpackAll {
    public static void main(String[] args) {
        int[] v = {0,8,10,6,3,7,2};
        int[] w = {0,4,6,2,2,5,1};
        int N=6,W=12;
        int result = MaxValue(N,W,v,w);
        System.out.print("最大价值为："+result);
    }
    public static int MaxValue(int N,int W,int[] v,int[] w){
        int[][] dp = new int[N+1][W+1];
        for(int i=0;i<=N;i++){
            dp[i][0] = 0;
        }
        for(int j=0;j<=W;j++){
            dp[0][j]=0;
        }
        for(int i=1;i<=N;i++){
            for(int j=0;j<=W;j++){
                for(int k=0;k*w[i]<=j;k++){
                    dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-k*w[i]]+k*v[i]);
                }
            }
        }
        return dp[N][W];
    }
}

 四、多重背包问题

代码遇到问题:

for(int k=0;k<=c[i]&&k*w[i]<=j;k++){

此代码中 k<=c[i] 无效，问题待解决！！！！！！！

package backpack;
//多重背包
//给定 n 种物品和一个容量为 C 的背包，物品 i 的重量是 wi，其价值为 vi ，其数量为c[i]。
//应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大？
public class backpackMul {
    public static void main(String[] args) {
//        v[i]:价值，w[i]：重量，m[i]:物品数量
        int[] v = {0,8,10,6,3,7,2};
        int[] w = {0,4,6,2,2,5,1};
        int[] c = {0,1,0,0,0,0,0};
        int N=6,W=12;
        int result = MaxValue(N,W,v,w,c);
        System.out.print("最大价值为："+result);
    }
    public static int MaxValue(int N,int W,int[] v,int[] w,int[] c){
        int[][] dp = new int[N+1][W+1];
        for(int i=0;i<=N;i++){
            dp[i][0] = 0;
        }
        for(int j=0;j<=W;j++){
            dp[0][j]=0;
        }
        for(int i=1;i<=N;i++){
            for(int j=1;j<=W;j++){
                for(int k=0;k<=c[i]&&k*w[i]<=j;k++){
                    dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-k*w[i]]+k*v[i]);
                }
            }
        }
        return dp[N][W];
    }

}