查找一 线性表的查找

查找的基本概念

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什么是查找？

查找是根据给定的某个值，在表中确定一个关键字的值等于给定值的记录或数据元素。

 

查找算法的分类

若在查找的同时对表记录做修改操作（如插入和删除），则相应的表称之为动态查找表；

否则，称之为静态查找表。

 

此外，如果查找的全过程都在内存中进行，称之为内查找；

反之，如果查找过程中需要访问外存，称之为外查找。

 

查找算法性能比较的标准

——平均查找长度ASL（Average Search Length）

由于查找算法的主要运算是关键字的比较过程，所以通常把查找过程中对关键字需要执行的平均比较长度（也称为平均比较次数）作为衡量一个查找算法效率优劣的比较标准。

 

 

选取查找算法的因素

(1) 使用什么数据存储结构（如线性表、树形表等）。

(2) 表中的次序，即对无序表还是有序表进行查找。

 

顺序查找

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要点

它是一种最简单的查找算法，效率也很低下。

 

存储结构

没有存储结构要求，可以无序，也可以有序。

 

基本思想

从数据结构线形表的一端开始，顺序扫描，依次将扫描到的结点关键字与给定值k相比较，若相等则表示查找成功；

若扫描结束仍没有找到关键字等于k的结点，表示查找失败。

核心代码

public int orderSearch(int[] list, int length, int key) {
    // 从前往后扫描list数组，如果有元素的值与key相等，直接返回其位置
    for (int i = 0; i < length; i++) {
        if (key == list[i]) {
            return i;
        }
    }
    
    // 如果扫描完，说明没有元素的值匹配key，返回-1，表示查找失败
    return -1;
}

 

算法分析

顺序查找算法最好的情况是，第一个记录即匹配关键字，则需要比较 1 次；

最坏的情况是，最后一个记录匹配关键字，则需要比较 N 次。

所以，顺序查找算法的平均查找长度为

 

ASL = (N + N-1 + ... + 2 + 1) / N = (N+1) / 2

顺序查找的平均时间复杂度为O(N)。

 

二分查找

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要点

二分查找又称折半查找，它是一种效率较高的查找方法。

 

存储结构

使用二分查找需要两个前提：

(1) 必须是顺序存储结构。

(2) 必须是有序的表。

 

基本思想

首先，将表中间位置记录的关键字与查找关键字比较，如果两者相等，则查找成功；

否则利用中间位置记录将表分成前、后两个子表，如果中间位置记录的关键字大于查找关键字，则进一步查找前一子表，否则进一步查找后一子表。
重复以上过程，直到找到满足条件的记录，使查找成功，或直到子表不存在为止，此时查找不成功。

核心代码

public int binarySearch(int[] list, int length, int key) {
    int low = 0, mid = 0, high = length - 1;
    while (low <= high) {
        mid = (low + high) / 2;
        if (list[mid] == key) {
            return mid; // 查找成功，直接返回位置
        } else if (list[mid] < key) {
            low = mid + 1; // 关键字大于中间位置的值，则在大值区间[mid+1, high]继续查找
        } else {
            high = mid - 1; // 关键字小于中间位置的值，则在小值区间[low, mid-1]继续查找
        }
    }
    return -1;
}

 

算法分析

二分查找的过程可看成一个二叉树。

把查找区间的中间位置视为树的根，左区间和右区间视为根的左子树和右子树。

由此得到的二叉树，称为二分查找的判定树或比较树。

由此可知，二分查找的平均查找长度实际上就是树的高度O(log₂N)。

 

分块查找

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要点

分块查找(Blocking Search)又称索引顺序查找。它是一种性能介于顺序查找和二分查找之间的查找方法。

分块查找由于只要求索引表是有序的，对块内节点没有排序要求，因此特别适合于节点动态变化的情况。

 

存储结构

分块查找表是由“分块有序”的线性表和索引表两部分构成的。

 

所谓“分块有序”的线性表，是指：

假设要排序的表为R[0...N-1]，将表均匀分成b块，前b-1块中记录个数为s=N/b，最后一块记录数小于等于s；

每一块中的关键字不一定有序，但前一块中的最大关键字必须小于后一块中的最小关键字。

注：这是使用分块查找的前提条件。

 

如上将表均匀分成b块后，抽取各块中的最大关键字和起始位置构成一个索引表IDX[0...b-1]。

由于表R是分块有序的，所以索引表是一个递增有序表。

 

下图就是一个分块查找表的存储结构示意图

基本思想

分块查找算法有两个处理步骤：

(1) 首先查找索引表

因为分块查找表是“分块有序”的，所以我们可以通过索引表来锁定关键字所在的区间。

又因为索引表是递增有序的，所以查找索引可以使用顺序查找或二分查找。

(2) 然后在已确定的块中进行顺序查找

因为块中不一定是有序的，所以只能使用顺序查找。

代码范例

 1 public class BlockSearch {
 2 
 3     class IndexType {
 4         public int key; // 分块中的最大值
 5         public int link; // 分块的起始位置
 6     }
 7 
 8     // 建立索引方法，n 是线性表最大长度，gap是分块的最大长度
 9     public IndexType[] createIndex(int[] list, int n, int gap) {
10         int i = 0, j = 0, max = 0;
11         int num = n / gap;
12         IndexType[] idxGroup = new IndexType[num]; // 根据步长数分配索引数组大小
13 
14         while (i < num) {
15             j = 0;
16             idxGroup[i] = new IndexType();
17             idxGroup[i].link = gap * i; // 确定当前索引组的第一个元素位置
18             max = list[gap * i]; // 每次假设当前组的第一个数为最大值
19             // 遍历这个分块，找到最大值
20             while (j < gap) {
21                 if (max < list[gap * i + j]) {
22                     max = list[gap * i + j];
23                 }
24                 j++;
25             }
26             idxGroup[i].key = max;
27             i++;
28         }
29 
30         return idxGroup;
31     }
32 
33     // 分块查找算法
34     public int blockSearch(IndexType[] idxGroup, int m, int[] list, int n, int key) {
35         int mid = 0;
36         int low = 0;
37         int high = m -1;
38         int gap = n / m; // 分块大小等于线性表长度除以组数
39         
40         // 先在索引表中进行二分查找，找到的位置存放在 low 中
41         while (low <= high) {
42             mid = (low + high) / 2;
43             if (idxGroup[mid].key >= key) {
44                 high = mid - 1;
45             } else {
46                 low = mid + 1;
47             }
48         }
49 
50         // 在索引表中查找成功后，再在线性表的指定块中进行顺序查找
51         if (low < m) {
52             for (int i = idxGroup[low].link; i < idxGroup[low].link + gap; i++) {
53                 if (list[i] == key)
54                     return i;
55             }
56         }
57 
58         return -1;
59     }
60 
61     // 打印完整序列
62     public void printAll(int[] list) {
63         for (int value : list) {
64             System.out.print(value + " ");
65         }
66         System.out.println();
67     }
68 
69     // 打印索引表
70     public void printIDX(IndexType[] list) {
71         System.out.println("构造索引表如下：");
72         for (IndexType elem : list) {
73             System.out.format("key = %d, link = %d\n", elem.key, elem.link);
74         }
75         System.out.println();
76     }
77 
78     public static void main(String[] args) {
79         int key = 85;
80         int array[] = { 8, 14, 6, 9, 10, 22, 34, 18, 19, 31, 40, 38, 54, 66, 46, 71, 78, 68, 80, 85 };
81         BlockSearch search = new BlockSearch();
82         
83         System.out.print("线性表: ");
84         search.printAll(array);
85 
86         IndexType[] idxGroup = search.createIndex(array, array.length, 5);
87         search.printIDX(idxGroup);
88         int pos = search.blockSearch(idxGroup, idxGroup.length, array,
89                 array.length, key);
90         if (-1 == pos) {
91             System.out.format("查找key = %d失败", key);
92         } else {
93             System.out.format("查找key = %d成功，位置为%d", key, pos);
94         }
95     }
96 
97 }

 

运行结果

线性表: 8 14 6 9 10 22 34 18 19 31 40 38 54 66 46 71 78 68 80 85 
构造索引表如下：
key = 14, link = 0
key = 34, link = 5
key = 66, link = 10
key = 85, link = 15

查找key = 85成功，位置为19

 

算法分析

因为分块查找实际上是两次查找过程之和。若以二分查找来确定块，显然它的查找效率介于顺序查找和二分查找之间。

 

三种线性查找的PK

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(1) 以平均查找长度而言，二分查找 > 分块查找 > 顺序查找。

(2) 从适用性而言，顺序查找无限制条件，二分查找仅适用于有序表，分块查找要求“分块有序”。

(3) 从存储结构而言，顺序查找和分块查找既可用于顺序表也可用于链表；而二分查找只适用于顺序表。

(4) 分块查找综合了顺序查找和二分查找的优点，既可以较为快速，也能使用动态变化的要求。

 

参考资料

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《数据结构习题与解析》（B级第3版）

 

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