求最小函数依赖集

如果函数依赖集F满足下列条件，则称F为一个最小函数依赖集，或称极小函数依赖集。

（1）F中的任一函数依赖的右部仅有一个属性，即无多余的属性。

（2）F中不存在这样的函数依赖X→A，使得F与F-{X→A}等价，即无多余的属性。

（3）F中不存在这样的函数依赖X→A，X有真子集Z使得F与F-{X→A}∪{Z→A}等价，即去掉各函数依赖左边的多余属性，A对X为完全函数依赖。

 

最小函数依赖集步骤：
　　① 用分解的法则，使F中的任何一个函数依赖的右部仅含有一个属性;

　　② 去掉多余的函数依赖：从第一个函数依赖X→Y开始将其从F中去掉，然后在剩下的函数依赖中求X的闭包X+，看X+是否包含Y，若是，则去掉X→Y；否则不能去掉，依次做下去。直到找不到冗余的函数依赖;

　　③去掉各依赖左部多余的属性。一个一个地检查函数依赖左部非单个属性的依赖。例如XY→A，若要判Y为多余的，则以X→A代替XY→A是否等价？若A属于(X)+，则Y是多余属性，可以去掉;

　　④若步骤③改变了函数依赖的左属性，重复②步骤一次。

 

【题1】关系模式R(U，F)中，U=ABCDEG，F={B->D，DG->C,BD->E,AG->B,ADG->BC}，求F的最小函数依赖集。
解：
(1)分右

　　F={B->D，DG->C,BD->E,AG->B,ADG->B,ADG->C}

(2)去多余依赖

　　①若B->D冗余，则去掉B->D，得G={DG->C,BD->E,AG->B,ADG->B,ADG->C}   

　　　　B⁺ ={B}不包含D，所以不冗余，不能去掉。

　　②若DG->C冗余，则去掉DG->C，得G={B->D,BD->E,AG->B,ADG->B,ADG->C}

　　　　(DG)⁺ ={DG}不包含C，所以不冗余，不能去掉。

　　③若BD->E冗余，则去掉BD->E，得G={B->D，DG->C,AG->B,ADG->B,ADG->C}

　　　　(BD)⁺ ={BD}不包含E，所以不冗余，不能去掉。

　　④若AG->B冗余，则去掉AG->B，得G={B->D，DG->C,BD->E,ADG->B,ADG->C}

　　　　(AG)⁺ ={AG}不包含B，所以不冗余，不能去掉。

　　⑤若ADG->B冗余，则去掉ADG->B，得G={B->D，DG->C,BD->E,AG->B,ADG->C}

　　　　(ADG)⁺ ={ABCDEG}包含B，所以冗余，去掉。

　　⑥若ADG->C冗余，则去掉ADG->C，得G={B->D，DG->C,BD->E,AG->B}

　　　　(ADG)⁺ ={ABCDEG}包含C，所以冗余，去掉。

　　综上:F={B->D，DG->C,BD->E,AG->B}

(3)去左冗余
　　①看DG->C，若D->C冗余，D⁺ ={D}不包含C,所以G不能去掉。

　　②看DG->C，若G->C冗余，G⁺ ={G}不包含C,所以D不能去掉。

　　③看BD->E，若B->E冗余，B⁺ ={BD}不包含E,所以D不能去掉。

　　④看BD->E，若D->E冗余，D⁺ ={D}不包含E,所以B不能去掉。

　　⑤看AG->B，若A->B冗余，A⁺ ={A}不包含B,所以G不能去掉。

　　⑥看AG->B，若G->B冗余，G⁺ ={G}不包含B,所以A不能去掉。

　　左属性没有变动，所以F的最小函数依赖集为F_m={B->D，DG->C,BD->E,AG->B}。