定点数和浮点数

　　任何一个数均可以表示为：(N)_R=±S×R^±e　　

 

　　R：基值。计算机中常用的R可取2、8、10、16等。

　　S：尾数。代表数N的有效数字。计算机中一般表示为纯小数。

　　e：阶码（指数）。代表数N的小数点的实际位置。一般表示为纯整数。

 

一、定点数

　　定点数：约定计算机中所有数据的小数点位置均是相同的，而且是固定不变的，即阶码e的取值固定不变的机器数表示。

　　定点数的两种表示方法：

　　　　定点小数：e=0，表示纯小数，小数点在符号位与最高数值位之间。　　定点整数：e=n，表示纯整数，小数点在最低有效数值位之后，在最低位的右边，不占位

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

 　　【例】

　　　　(123.45)₁₀ = 0.12345×10³ = 12345×10^-2

　　　　(11011.101)2 = 0.11011101×10⁵ = 11011101×2^-3

 

二、浮点数

　　 浮点数用类似(N)_R=±S×R^±e科学计数法来表达，比如1001.101的规范浮点数表达为1.001101×2³

 　　浮点数的小数点位置不是固定，而是可以浮动的，即e的取值可变。利用改变e值达到了浮动小数点的效果，从而灵活地表达更大范围地实数。因此在机器中必须将e表示出来。　　 　 

　　　　浮点数的表示如图

　　　　　　

 

 　　　   尾数的位数决定了数据表示的精度，为带符号的纯小数。

　　　　阶码的位数决定了数据表示的范围，为带符号的纯整数。

 

三、浮点数的规格化

　　（1）如何尽可能多地保留有效数字？

　　（2）如何保证浮点表示地唯一？

　　　规格化思想：尽可能去掉尾数中的前置“0”，尽量使小数点后第一位为“1”。对于二进制数，就是要满足：1/2≤|S|<1

　　【例】0.001001×2⁵的规格化

　　　　　0.001001×2⁵规格化表示为：0.100100×2³

 

四、原码规格化

 　　若[S]_原=Sf.S1S2..Sn，规格化标志是：S1=1，即：[S]_原=0.1xx...x 或 [S]_原=1.1xx...x。

　　【例】

　　　　[S]_原=0.1101101 → [S]_原=1.1101101  是规格化数

　　　　[S]_原=0.0101101 → [S]_原=1.0101101  不是规格化数

五、补码规格化

　　 若[S]_补=Sf.S1S2..Sn，规格化标志是：Sf⊙S1=1，即：[S]_补=0.1xx...x 或 [S]_补=1.0xx...x。⊙指异或运算 

　　【例】

　　　　[S]_补=0.1101101 → [S]_补=1.0101101  是规格化数

　　　　[S]_原=0.0101101 → [S]_原=1.1101101  不是规格化数

 

 六、IEEE 754浮点数标准

　　IEEE 754标准在表示浮点数时，每个浮点数均由三部分组成：符号位S，指数部分E和尾数部分M。

　　　　32位单精度浮点数表示格式如图

　　　　

 

 　　　　S：数符，0表示“+”，1表示“-”。

　　　　 E：指数，即阶码部分。其中包括1位阶符和7位数值。采用移127码表示，移码值为127。即 阶码=127+实际指数值

　　　　 M：共23位。由于尾数采用规格化表示，所以IEEE 754 标准约定在小数点左部有一位隐含位为1，从而使尾数的实际有效位为24位，即尾数的有效值为1.M。

 　　【例】利用IEEE 754标准将数176.0625表示为单精度浮点数

　　　    解析： ①将十进制转换二进制数：(176.0625)₁₀=(10110000.0001)₂

　　　　　　　 ②对二进制数进行规格化处理：10110000.0001=1.01100000001×2⁷

 　　　　　　　③将小数部分扩展为单精度浮点数所规定的23位尾数为0110,0000,0010,0000,0000,000

　　　　　　　 ④求阶码，指数为7位数值，偏移量为127。E=7+127=134=(10000110)_移

　　　　　　　 最后176.0625的单精度浮点数表示为：0 10000110 0110,0000,0010,0000,0000,000