最短路径

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最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法

1、单源点的最短路径问题：给定带权有向图G和源点v，求从v到G中其余各顶点的最短路径。

我们用一个例子来具体说明迪杰斯特拉算法的流程。

定义源点为 0，dist[i]为源点 0 到顶点 i 的最短路径。其过程描述如下：

步骤	dist[1]	dist[2]	dist[3]	dist[4]	已找到的集合
第 1 步	8	1	2	+∞	{2}
第 2 步	8	×	2	4	{2, 3}
第 3 步	5	×	×	4	{2, 3, 4}
第 4 步	5	×	×	×	{2, 3, 4, 1}
第 5 步	×	×	×	×	{2, 3, 4, 1}

第 1 步：从源点 0 开始，找到与其邻接的点：1，2，3，更新dist[]数组，因 0 不与 4 邻接，故dist[4]为正无穷。在dist[]中找到最小值，其顶点为 2，即此时已找到 0 到 2 的最短路。

第 2 步：从 2 开始，继续更新dist[]数组：2 与 1 不邻接，不更新；2 与 3 邻接，因0→2→3比dist[3]大，故不更新dist[3] ；2 与 4 邻接，因0→2→4比dist[4]小，故更新dist[4]为 4。在dist[]中找到最小值，其顶点为 3，即此时又找到 0 到 3 的最短路。

第 3 步：从 3 开始，继续更新dist[]数组：3 与 1 邻接，因0→3→1比dist[1]小，更新dist[1]为 5；3 与 4 邻接，因0→3→4比dist[4]大，故不更新。在dist[]中找到最小值，其顶点为 4，即此时又找到 0 到 4 的最短路。

第 4 步：从 4 开始，继续更新dist[]数组：4 与 1 不邻接，不更新。在dist[]中找到最小值，其顶点为 1，即此时又找到 0 到 1 的最短路。

第 5 步：所有点都已找到，停止。

 

2、弗洛伊德算法：

1)算法思想原理：

     Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）

      从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。

2).算法描述：

a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。 　　

b.对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。