程序员基本功系列5——二叉树
1、二叉树基础
1.1、树的几个概念
节点的高度：节点到叶子节点的最大路径（边数）
节点的深度：根节点到这个节点所经历的边数
节点的层数：节点的深度+1
树的高度：根节点的高度
高度和深度的计数都是从0开始，来看个例子：
1.2、满二叉树和完全二叉树
（1）满二叉树
叶子节点全都在最后一层，除叶子节点外，每个节点都有左右两个节点，这种二叉树就是满二叉树。
其中2号就是满二叉树。
（2）完全二叉树
叶子节点都在最底下两层，最后一层的叶子节点都靠左排列，并且除了叶子节点，每个节点都有左右两个节点，这种二叉树就是完全二叉树。上图中3号就是一棵完全二叉树。
再来看几个完全二叉树和非完全二叉树的例子：
和满二叉树一样，除了叶子节点其他节点都达到最大，这一点很好理解，那为什么完全二叉树的要求最后一层都靠左排列呢？
要明白这一点就要看二叉树的存储方式？主要有两种：链式存储和基于数组的顺序存储。
链式存储：这是最长用的二叉树表示方式，每个节点三个字段，一个存储数据，另外两个是指向左右节点的指针。
基于数组的顺序存储：把根节点存储在下标 i = 1 的位置，那左子节点存储在下标 2 * i = 2 的位置，右子节点存储在 2 * i + 1 = 3 的位置。以此类推，B 节点的左子节点存储在 2 * i = 2 * 2 = 4 的位置，右子节点存储在 2 * i + 1 = 2 * 2 + 1 = 5 的位置。
完全二叉树叶子节点都靠左排列就是为了节省存储空间。
1.3、二叉树的遍历
经典的三种方式：前序遍历、中序遍历、后序遍历。
前序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印这个节点，然后再打印它的左子树，最后打印它的右子树。
中序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印它本身，最后打印它的右子树。
后序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印它的右子树，最后打印这个节点本身
实际上，前中后序遍历就是递归过程，我们直接看代码：
void preOrder(Node* root) { if (root == null) return; print root // 此处为伪代码，表示打印root节点 preOrder(root->left); preOrder(root->right); } void inOrder(Node* root) { if (root == null) return; inOrder(root->left); print root // 此处为伪代码，表示打印root节点 inOrder(root->right); } void postOrder(Node* root) { if (root == null) return; postOrder(root->left); postOrder(root->right); print root // 此处为伪代码，表示打印root节点 }
三种遍历，每个节点最多会被访问两次，与节点个数正相关，所以时间复杂度是 O(n)。
2、二叉查找树
二叉查找树是二叉树中最常用的一种类型，也就二叉搜索树。它支持快速查找、插入和删除数据。
二叉查找树要求，在树中的任意一个节点，其左子树中的每个节点的值，都要小于这个节点的值，而右子树节点的值都大于这个节点的值。
2.1、二叉查找树的操作
（1）二叉查找树的查找操作
先取根节点，如果它等于我们要查找的数据，那就返回。如果要查找的数据比根节点的值小，那就在左子树中递归查找；如果要查找的数据比根节点的值大，那就在右子树中递归查找。
public class BinarySearchTree { private Node tree;
public static class Node { private int data; private Node left; private Node right; public Node(int data) { this.data = data; } } public Node find(int data) { Node p = tree; while (p != null) { if (data < p.data) p = p.left; else if (data > p.data) p = p.right; else return p; } return null; } }
（2）二叉查找树的插入操作
二叉查找树的插入过程有点类似查找操作。新插入的数据一般都是在叶子节点上，所以我们只需要从根节点开始，依次比较要插入的数据和节点的大小关系。如果要插入的数据比节点的数据大，并且节点的右子树为空，就将新数据直接插到右子节点的位置；如果不为空，就再递归遍历右子树，查找插入位置。同理，如果要插入的数据比节点数值小，并且节点的左子树为空，就将新数据插入到左子节点的位置；如果不为空，就再递归遍历左子树，查找插入位置。
public void insert(int data) { if (tree == null) { tree = new Node(data); return; } Node p = tree; while (p != null) { if (data > p.data) { if (p.right == null) { p.right = new Node(data); return; } p = p.right; } else { // data < p.data if (p.left == null) { p.left = new Node(data); return; } p = p.left; } } }
（3）二叉查找树的删除操作
删除操作比较复杂，因为可能涉及到重构，根据要删除节点的子节点个数不同，分三种情况考虑：
• 如果要删除的节点没有子节点，只需要直接将父节点中，指向要删除节点的指针置为 null。比如图中的删除节点 55。
• 如果要删除的节点只有一个子节点（只有左子节点或者右子节点），只需要更新父节点中指向要删除节点的指针，让它指向要删除节点的子节点就可以了。比如图中的删除节点 13。
• 如果要删除的节点有两个子节点，这就比较复杂了。需要找到这个节点的右子树中的最小节点，把它替换到要删除的节点上。然后再删除掉这个最小节点，因为最小节点肯定没有左子节点（如果有左子结点，那就不是最小节点了），所以，可以应用上面两条规则来删除这个最小节点。比如图中的删除节点 18。
public void delete(int data) { Node p = tree; // p指向要删除的节点，初始化指向根节点 Node pp = null; // pp记录的是p的父节点 while (p != null && p.data != data) { pp = p; if (data > p.data) p = p.right; else p = p.left; } if (p == null) return; // 没有找到 // 要删除的节点有两个子节点 if (p.left != null && p.right != null) { // 查找右子树中最小节点 Node minP = p.right; Node minPP = p; // minPP表示minP的父节点 while (minP.left != null) { minPP = minP; minP = minP.left; } p.data = minP.data; // 将minP的数据替换到p中 p = minP; // 下面就变成了删除minP了 pp = minPP; } // 删除节点是叶子节点或者仅有一个子节点 Node child; // p的子节点 if (p.left != null) child = p.left; else if (p.right != null) child = p.right; else child = null; if (pp == null) tree = child; // 删除的是根节点 else if (pp.left == p) pp.left = child; else pp.right = child; }
（4）二叉查找树的其他操作
除了插入、删除、查找操作之外，二叉查找树中还可以支持快速地查找最大节点和最小节点、前驱节点和后继节点。
另外还有一个重要特性，二叉查找树的中序遍历可以输出有序的数据序列，时间复杂度 O(n)，非常高效。
（5）时间复杂度分析
二叉查找树的查找、插入和删除的时间复杂度跟跟树的高度成正比，所以时间复杂度就是 O(height)。在极端情况下，二叉查找树会退化成链表，时间复杂度就是 O(n)，如果二叉树是平衡二叉树（3节讲），平衡二叉树的树高接近 O(logn)，
所以对于平衡二叉树来说时间复杂度就是 O(logn)。
2.2、支持重复数据的二叉查找树
很多时候，在实际的开发中，在二叉查找树中存储的，是一个包含很多字段的对象。利用对象的某个字段作为键值（key）来构建二叉查找树。把对象中的其他字段叫作卫星数据。
上面小节中所提到的操作都是针对不存在重复键值的情况，那如果存在重复键值怎么解决呢？几种思路：
（1）二叉树的每个节点不仅存储一个数据，可以通过链表和支持动态扩容的数组等数据结构，把相同键值的数据存储在一个节点上。
（2）每个节点还是只存储一个数据，如果遇到相同的键值，将要插入的数据放到右子树，也就是把相同的键值按大于这个节点的值来处理。
当要查找数据的时候，遇到值相同的节点，并不停止查找操作，而是继续在右子树中查找，直到遇到叶子节点，才停止。这样就可以把键值等于要查找值的所有节点都找出来。
（3）对于要删除的数据，并不真正删除，只是将节点标记为删除状态，这样就避免删除带来的复杂性，但是比较浪费存储空间，并且当数据量越大，性能会越低。
3、二叉树的深度优先和广度优先遍历
（1）深度优先遍历
深度优先遍历（DFS）：从根节点出发，沿着左子树方向进行纵向遍历，直到找到叶子节点为止。然后回溯到前一个节点，进行右子树节点的遍历，直到遍历完所有可达节点为止。
深度优先遍历可以借助栈（先进后出）的特性来实现。
public void depthOrderTraversal(){ if(root==null){ return; } Stack<TreeNode> stack = new Stack(); //用栈实现 stack.push(root); while(stack.isEmpty()==false){ TreeNode node=stack.pop(); if(node.right!=null){ stack.push(node.right); } if(node.left!=null){ stack.push(node.left); } } }
leetcode：二叉树中和为某一值得路径
（2）广度优先遍历
广度优先遍历：从根节点出发，在横向遍历二叉树层段节点的基础上纵向遍历二叉树的层次。
广度优先遍历可以借助队列（先进先出）的特性来实现。
public void levelOrderTraversal(){ if(root==null){ return; } ArrayDeque<TreeNode> queue=new ArrayDeque<TreeNode>(); queue.add(root); while(queue.isEmpty()==false){ TreeNode node=queue.remove(); if(node.left!=null){ queue.add(node.left); } if(node.right!=null){ queue.add(node.right); } } }
4、平衡二叉树之红黑树
平衡二叉树严格的定义：除了二叉查找树的特点，二叉树中任意节点左右子树的高度相差不能大于1。上面提到的完全二叉树和满二叉树就是严格意义上的平衡二叉树。
AVL树也是严格意义上的平衡二叉树，但是很多平衡二叉树并没有严格符合上面的定义（即任意节点左右子树的高度相差不能大于1），比如下面要说的红黑树。这里我们就要理解平衡二叉树中“平衡”的意义：其实就是让整棵树左右看起来比较“对称”、比较“平衡”，不要出现左子树很高、右子树很矮的情况。这样就能让整棵树的高度相对来说低一些，相应的插入、删除、查找等操作的效率高一些。
所以只要树高不比logn大很多，也可以认为符合平衡二叉树。
那我们来看红黑树，顾名思义，它的一类节点被标记为红色，一类节点被标记为黑色，此外还要满足这样几个要求：
• 根节点是黑色的
• 每个叶子节点都是黑色的空节点（NULL），也就是说叶子节点不存储数据。这一点主要是为了简化红黑树代码实现而设置
• 任何相邻的节点都不能同时为红色，也就是说红色节点是被黑色节点隔开的
• 每个节点，从该节点到达其可达叶子节点的所有路径，都包含相同数目的黑色节点
来看一下红黑树的例子，这里去掉叶子节点：
这里思考一个问题：AVL树是严格的平衡二叉树，查询性能非常高，为什么红黑树在实际开发中使用更多呢？
其实有利有弊，AVL树为了维持严格平衡，在插入和删除时都要做调整，这样就增加了复杂度和性能开销，但是红黑树的近似平衡，就使得插入、删除和查询等各种操作的性能比较稳定。
红黑树的实现较为复杂，在实际开发或是面试中也不太会自己写一个红黑树，有的放矢地学习，这里红黑树的实现就先略过了。
