算法学习 -- 枚举

在学习枚举算法之前，首先问有关枚举的几个问题

1. 为什么要进行枚举？

2. 需要对哪些对象进行枚举？

3. 如何进行枚举？

4. 枚举的结束条件是什么？

 

现在针对两个使用枚举算法的实例对以上问题进行分析.

实例一：熄灯问题

给定一个5×6的棋盘，上面有灯，每个灯都有各自的按钮，每个按钮按下去都会使其自己和周围的上下左右四盏灯改变（原来熄灭的变亮，原来亮的变灭），如何操作按钮使这个棋盘上所有灯都熄灭。

实例二：青蛙问题

一个5000×5000的稻田，有很多青蛙从这个稻田上跳过，每只青蛙跳过的步长不一样，青蛙每次总是沿着一条直线跳跃稻田（至少3个稻子），农民早上起来看到被踩踏的稻子，希望找到造成最大损害的那只青蛙经过的路径。

第一个问题：为神马要枚举？

因为解决这个问题可能不止一个方案，然而目前我并不知道哪个方案可以，仅仅知道如果按照这个方案操作造成的结果，这个结果是否符合最后的要求并不清楚。需要进一步实验验证。

实例一，总共有5×6个按钮可以操作，但并不知道按下哪些按钮会导致所有灯都熄灭。实例二，总共有5000×5000个稻子，被踩踏的稻子也很多，但是并不知道哪些稻子是被某只青蛙踩踏的，而且是最多的。

第二个问题：需要对哪些对象进行枚举？

接着上个问题所述，假定一个假设，接着进行这个假设，通过这个假设来进行推理，推理出一个结果，这个结果会接着推理下一个结果，顺序下去，最后可以推导出最终的结果，最终的结果是不是题目要求的结果。而这而的假设就是我们需要枚举的对象。这个假设要求可以推得最后的唯一结果，同时它必须不是很多，否则复杂度很大。

实例一，因为下一行的按钮负责将上一行的灯熄灭，一行一行的熄灭，只要第一行的按钮被按下去了，第一行的灯状态就可以确定，第二行的按钮只需要将第一行的熄灭就行，那么第二行的按钮状态也是确定的，依次类推，到最后第五行时，第五行的按钮负责熄灭了第四行的灯，但是不一定使第五行的灯熄灭。所以需要枚举的对象是第一行的按钮状态。

实例二，因为被踩踏的稻子数至少为3个，所以可以将这些被踩踏的任意两个稻子作为一只青蛙经过的路径。任意两个稻子就决定了这只青蛙的步长，根据步长就可以判断下这只青蛙的下一步的位置，依次可以推断出最后一个稻子的位置，就可以知道这只青蛙是不是踩踏最多的那只了。

第三个问题：如何进行枚举？

通过对第二个问题的分析，我们知道了需要对哪些对象进行枚举，接下来需要知道如何对这些对象进行枚举。具体如何枚举需要看所要枚举的对象。

实例一，需要枚举的对象是第一行的按钮状态，因为按下用1表示，不按用0表示，在枚举的过程中，实际是对第一行的6个按钮进行枚举，因为这六个按钮都是0和1，可以看作二进制数，枚举就是二进制不断加一的过程。

实例二，需要枚举的对象是踩踏稻子中任意两个稻子，实际是对n个数中任意两个数进行遍历，外层循环遍历 i 从1到n - 1， 内层循环遍历 j 从 i 到 n。

第四个问题：枚举的结束条件是什么？

通过问题二的分析知道，在某个假设，经过一步一步的推导，看最后的结果是否符合问题给出的条件或约束，如何符合，那枚举就可以结束，说明这个枚举就是最后的答案。

实例一, 第五行的按钮熄灭了第五行的灯，则符合将灯全部熄灭这一要求，所以枚举结束，获得正确的按钮。

实例二，最后一个稻子位置在被毁稻子列表中，而且这个枚举情况下的被毁稻子数最多，则枚举结束，可以判定这条路径就是被毁最多路径。