如何理解logistic函数?

Posted on 2018-01-18 01:42 西瓜K菠萝阅读(3260) 评论(0) 编辑收藏举报

作者：煎挠橙
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稍微系统的讲讲 Logistic 方程在生态学上的出现背景，意义和应用场景。

1.来源

1798年的时候一个叫 Malthus 的英国牧师在查看当地的人口出生记录的时候发现人口的变化率是和人口的数目成正比的，当然你也可以认为这个正比的关系是生态学上的一个基本假设。

如果用 $N(t)$ 这个函数来表示 $t$ 时刻某个地区的人口总数（或者是牛羊的数目或者是细菌的数目）的话我们得到的应该是下面这个方程：

$\frac{d N(t)}{d t} = r N(t)$

其中 $r$ 是常数，表示 $N(t)$ 的变化率。（注意这里为了方便我直接写了连续极限下的方程并且忽略掉了一些随机效应的影响，理论上讲只有系统尺寸趋于无穷大的情况下这个描述才是准确的，但这样写并不影响我们理解问题的本质。下面用了同样的处理。）

这个微分方程可以直接积分解出：

$N(t) = N_0 e^{r t}$

其中 $N_0$ 是积分常数，不过这里可以理解为系统的初值即 $N(0)=N_0$ 。如果考虑 $r>0$ 的情况下显然 $N(t)$ 会随着时间指数增长（如下图），如果自然界确实是按照这个规律工作的那么地球早该被各种生物塞的满满的。另一方面如果 $r<0$ 那么 $N(t)$ 就会指数衰减，这部分就不细说了，后面主要还是关注种群增长的问题。

图1: $N(t)$ 随时间指数增长

为了克服数目无限增长的问题，模型必须做出修改才行，这个修改最早由 Pierre-François Verhulst 在1838年提出：

$\frac{d N(t)}{d t} = r N(t)\left(1-\frac{N(t)}{K}\right)$

这就是所谓的 Logistic 方程了。能看出是在原有模型的基础上增加了 $(1-N/K)$ 这一项。 $K$ 也是个常数，用来表示系统的容量(capacity)，这里认为不管是什么物种生存环境总是有限制的，这个限制可以体现在空间或者资源上。

多了这一项最直接的结果就是系统不能无限制的增长了：随着 $N(t)$ 随时间的增长并不断接近系统的容量 $K$ ， $N(t)$ 的增长率是逐渐减小的。后面我们会更详细的考察这个方程的性质，这里先直观的看看模型设计成这样的意义。

Logistic 方程描述的系统中人口的增长率除了和当时的人口数目成正比以外还要受到系统容量的限制；或者你可以理解为人口的增长速度除了和当时的人口数目成正比以外还和系统中的空位成正比。

为了下面讨论方便，我们先把 Logistic 方程重新标度一下，令：

$f(t) = \frac{N(t)}{K}$

并在方程两边同时除以 $K$ ，方程变为：

$\frac{d f(t)}{d t} = r f(1-f)$

这是 Logistic 方程更一般的形式，这里 $f(t)$ 表示人口在容量确定的系统中所占的比例。

2. Logistic 方程的性质

实际上 Logistic 方程是可以直接解出的：

$f(t)=\frac{f_0 e^{rt}}{1+f_0(e^{rt}-1)}$

为了更直观的考察方程的性质，现在我们假设初始时刻 $f(0)$ 的取值是多种多样的，我们关心的是随着时间的流逝， $f(t)$ 是如何变化的，看图：

图2: $f(0)$ 分别取 $[0,1.4]$ 区间上一些不同的值的情况下 $f(t)$ 随时间的变化情况

从图中可以看到很多有意思的东西：

最明显的，不管初值如何取， $f(t)$ 最终都会变到 $1$ ！无限制增长的问题被解决了。

细心的朋友应该发现图中有些 $f(0)$ 是大于1的，如果要求一个萝卜一个坑的话这当然是不可能的，但如果系统容量的限制没有那么强允许大家都挤一挤的话这种情况还是可以理解的。有意思的尽管初值大于 $1$ ， $f(t)$ 还是很快就变到1了，完全符合逻辑。这么一看 Logistic 方程虽然简单但实在很巧妙。

另外图中还有一条 $f(t)=f(0)=0$ 的线因为和横轴重叠了所以看不清，这条线也好理解，如果一开始 $f=0$ 那么 $f$ 就永远等于 $0$ 。

下面这段话只作为辅助理解。 有朋友应该已经意识到了对 Logistic 方程来说， $f=1$ 和 $f=0$ 是两个很特殊的点，当 $f$ 取到这两个点的时候方程的右边为0也即 $f$ 的变化率为0。我们称这两个点为不动点。但这两个点又不一样，其中1是稳定不动点，0是不稳定的，形象一点的理解的话0点在山的最高峰，1在最谷底，如果你恰巧落在了0点，那么可以保持不动，除此之外落在其他的任何 $(0,\infty)$ 上的地方都会最终跑到1处去。因为现实世界并非是确定性的，所以不太容易见到系统保持在0这样的不稳定不动点上，相比之下1因为其稳定性要常见的多。 这里并没有讨论 $f(0)<0$ 的情况，因为在生态学上这是没有意义的，不过感兴趣的朋友可以自己分析一下会是个什么情况。