SciPy 线性代数

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SciPy线性代数包是使用优化的ATLAS LAPACK和BLAS库构建的，具有高效的线性代数运算能力。

线性代数包里的函数，操作对象都是二维数组。

SciPy.linalg 与 NumPy.linalg
与NumPy.linalg相比，scipy.linalg除了包含numpy.linalg中的所有函数，还具有numpy.linalg中没有的高级功能。

线性方程组求解

scipy.linalg.solve 函数可用于解线性方程。例如，对于线性方程$a * x + b * y = z$，求出未知数x, y值。

示例

解下面的联立方程组：

$$
x + 3y + 5z = 10 \
2x + 5y + z = 8 \
2x + 3y + 8z = 3
$$

上面的方程组，可以用矩阵表示为：

$$
\left[
\begin{matrix}
1 & 3 & 5 \
2 & 5 & 1 \
2 & 3 & 8
\end{matrix}
\right]

\left[
\begin{matrix}
x \
y \
z
\end{matrix}
\right] =

\left[
\begin{matrix}
10 \
8 \
3
\end{matrix}
\right]

利用矩阵求解上面方程组，如下图所示：

$$
\left[
\begin{matrix}
x \
y \
z
\end{matrix}
\right]

\left[
\begin{matrix}
1 & 3 & 5 \
2 & 5 & 1 \
2 & 3 & 8
\end{matrix}
\right]^{-1}

\left[
\begin{matrix}
10 \
8 \
3
\end{matrix}
\right]

= \frac{1}{25}

\left[
\begin{matrix}
-232 \
129 \
19
\end{matrix}
\right]

\left[
\begin{matrix}
-9.28 \
5.16 \
0.76
\end{matrix}
\right]

下面我们使用scipy来求解。

scipy.linalg.solve函数接受两个输入，数组a和数组b，数组a表示系数，数组b表示等号右侧值，求出的解将会放在一个数组里返回。

让我们考虑下面的例子。

# 导入scipy和numpy包
from scipy import linalg
import numpy as np

# 声明numpy数组
a = np.array([[1, 3, 5], [2, 5, 1], [2, 3, 8]])
b = np.array([10, 8, 3])

# 求解
x = linalg.solve(a, b)

# 输出解值
print (x)

输出

[-9.28  5.16  0.76]

计算行列式

矩阵A的行列式表示为$|A|$，行列式计算是线性代数中的常见运算。

SciPy中，可以使用det()函数计算行列式，它接受一个矩阵作为输入，返回一个标量值，即该矩阵的行列式值。

示例

# 导入scipy和numpy包
from scipy import linalg
import numpy as np

# 声明numpy数组
A = np.array([[3,4],[7,8]])

# 计算行列式
x = linalg.det(A)

# 输出结果
print (x)

输出

-4.0

求取特征值与特征向量

求取矩阵的特征值、特征向量，也是线性代数中的常见计算。

通常，可以根据下面的关系，求取矩阵(A)的特征值(λ)、特征向量(v)：

$$ Av = λv $$

scipy.linalg.eig 函数可用于计算特征值与特征向量，函数返回特征值和特征向量。

示例

# 导入scipy和numpy包
from scipy import linalg
import numpy as np

# 声明numpy数组
A = np.array([[3,4],[7,8]])

# 求解
l, v = linalg.eig(A)

# 打印特征值
print('特征值')
print (l)

# 打印特征向量
print('特征向量')
print (v)

上面的程序将生成以下输出。

特征值
[-0.35234996+0.j 11.35234996+0.j]
特征向量
[[-0.76642628 -0.43192981]
 [ 0.64233228 -0.90190722]]

SVD奇异值分解

奇异值分解(SVD)是现在比较常见的算法之一，也是数据挖掘工程师、算法工程师必备的技能之一。假设A是一个$M×N$的矩阵，那么通过矩阵分解将会得到$U，Σ，V^{T$（V的转置）三个矩阵，其中U是一个$M×M$的方阵，被称为左奇异向量，方阵里面的向量是正交的；Σ是一个$M×N$的对角矩阵，除了对角线的元素其他都是0，对角线上的值称为奇异值；$V}T$(V的转置)是一个$N×N$的矩阵，被称为右奇异向量，方阵里面的向量也都是正交的。

$$ A_{m\times{n}} = U_{m\times{m}} Σ_{m\times{n}} V_{n\times{n}}^T$$