SciPy fftpack(傅里叶变换)
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SciPy提供了fftpack模块，包含了傅里叶变换的算法实现。
傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。傅里叶变换把信号从时域变换到频域，以便对信号进行处理。傅里叶变换在信号与噪声处理、图像处理、音频信号处理等领域得到了广泛应用。
如需进一步了解傅里叶变换原理，可以参考相关资料。
快速傅里叶变换
计算机只能处理离散信号，使用离散傅里叶变换(DFT) 是计算机分析信号的基本方法。但是离散傅里叶变换的缺点是：计算量大，时间复杂度太高，当采样点数太高的时候，计算缓慢，由此出现了DFT的快速实现，即快速傅里叶变换FFT。
快速傅里叶变换（FFT）是计算量更小的离散傅里叶变换的一种实现方法，其逆变换被称为快速傅里叶逆变换（IFFT）。
示例
print(fft(np.array([4., 3., 5., 10., 5., 3.])))
先对数据进行fft变换，然后再ifft逆变换。
import numpy as np
#从fftpack中导入fft(快速傅里叶变化)和ifft(快速傅里叶逆变换)函数
from scipy.fftpack import fft,ifft
#创建一个随机值数组
x = np.array([1.0, 2.0, 1.0, -1.0, 1.5])
#对数组数据进行傅里叶变换
y = fft(x)
print('fft: ')
print(y)
print('\n')
#快速傅里叶逆变换
yinv = ifft(y)
print('ifft: ')
print(yinv)
print('\n')
输出
fft:
[ 4.5 +0.j 2.08155948-1.65109876j -1.83155948+1.60822041j
-1.83155948-1.60822041j 2.08155948+1.65109876j]
ifft:
[ 1. +0.j 2. +0.j 1. +0.j -1. +0.j 1.5+0.j]
可以看到fft，ifft返回的都是复数。ifft返回的结果中，复数的虚部都是0，实部与原始数据x一致。
这些点的频率无法计算，因为没有设置这N个点的时间长度。如不理解，不必深究，后面会介绍。
理解fft变换结果
我们知道，傅里叶变换把时域信号变为频域信号。在离散傅里叶变换中，频域信号由一系列不同频率的谐波（频率成倍数）组成。fft返回值是一个复数数组，每个复数表示一个正弦波。通常一个波形由振幅，相位，频率三个变量确定，可以从fft的返回值里，获取这些信息。
假设a是时域中的周期信号，采样频率为Fs，采样点数为N。如果A[N] = fft(a[N])，返回值A[N]是一个复数数组，其中：
- A[0]表示频率为0hz的信号，即直流分量。
- A[1:N/2]包含正频率项，A[N/2:]包含负频率项。正频率项就是转化后的频域信号，通常我们只需要正频率项，即前面的n/2项，负频率项是计算的中间结果（正频率项的镜像值）。
- 每一项的频率计算：假设A[i]为数组中的元素，表示一个波形，该波形的频率 = i * Fs / N
- A[i] = real + j * imag，是一个复数，相位就是复数的辐角，相位 = arg(real/imag)
- 类似的，振幅就是复数的模，振幅 = sqrt(real2+imag2)。但是fft的返回值的模是放大值，直流分量的振幅放大了N倍，弦波分量的振幅放大了N/2倍。
频率分辨率
频率分辨率是离散傅里叶变换(DFT)频域相邻刻度之间的实际频率之差。采样时，数据采样了T秒(T = 采样点数N / 采样频率Fs)，信号的成分中周期最大也就是T秒，最低频率即“基频”就等于1 / T，也就是Fs / N，这就是频率分辨率。基频 =Fs / N，各个谐波的频率就是i * Fs / N，这个公式用于计算各个波形的频率。
示例
import numpy as np
from scipy.fftpack import fft
# 采样点数
N = 4000
# 采样频率 (根据采样定理，采样频率必须大于信号最高频率的2倍，信号才不会失真)
Fs = 8000
x = np.linspace(0.0, N/Fs, N)
# 时域信号，包含：直流分量振幅1.0，正弦波分量频率100hz/振幅2.0, 正弦波分量频率150Hz/振幅0.5/相位np.pi
y = 1.0 + 2.0 * np.sin(100.0 * 2.0*np.pi*x) + 0.5*np.sin(150.0 * 2.0*np.pi*x + np.pi)
# 进行fft变换
yf = fft(y)
# 获取振幅，取复数的绝对值，即复数的模
abs_yf = np.abs(yf)
# 获取相位，取复数的角度
angle_y=np.angle(yf)
# 直流信号
print('\n直流信号')
print('振幅:', abs_yf[0]/N) # 直流分量的振幅放大了N倍
# 100hz信号
index_100hz = 100 * N // Fs # 波形的频率 = i * Fs / N，倒推计算索引：i = 波形频率 * N / Fs
print('\n100hz波形')
print('振幅:', abs_yf[index_100hz] * 2.0/N) # 弦波分量的振幅放大了N/2倍
print('相位:', angle_y[index_100hz])
# 150hz信号
index_150hz = 150 * N // Fs # 波形的频率 = i * Fs / N，倒推计算索引：i = 波形频率 * N / Fs
print('\n150hz波形')
print('振幅:', abs_yf[index_150hz] * 2.0/N) # 弦波分量的振幅放大了N/2倍
print('相位:', angle_y[index_150hz])
print('100hz与150hz相位差:', angle_y[index_150hz] - angle_y[index_100hz])
print('\n')
输出
直流信号
振幅: 1.0
100hz波形
振幅: 1.9989359813189005
相位: -1.5315264186250062
150hz波形
振幅: 0.5008489983048182
相位: 1.6297011890497097
100hz与150hz相位差: 3.161227607674716
可以看到，正弦波的相位不一定从0开始，但波形之间的相位差确实s约等于一个pi(值跟采样频率与采样点数有关系)。
离散余弦变换(DCT)
由于许多要处理的信号都是实信号，在使用FFT时，对于实信号，傅立叶变换的共轭对称性导致在频域中有一半的数据冗余。
离散余弦变换（DCT）是对实信号定义的一种变换，变换后在频域中得到的也是一个实信号，相比离散傅里叶变换DFT而言, DCT可以减少一半以上的计算。DCT还有一个很重要的性质（能量集中特性）：大多书自然信号（声音、图像）的能量都集中在离散余弦变换后的低频部分，因而DCT在（声音、图像）数据压缩中得到了广泛的使用。由于DCT是从DFT推导出来的另一种变换，因此许多DFT的属性在DCT中仍然是保留下来的。
SciPy.fftpack中，提供了离散余弦变换(DCT)与离散余弦逆变换(IDCT)的实现。
示例
import numpy as np
from scipy.fftpack import dct,idct
y = dct(np.array([4., 3., 5., 10., 5., 3.]))
print(y)
输出
[ 60. -3.48476592 -13.85640646 11.3137085 6.
-6.31319305]
离散余弦逆变换(idct)，是离散余弦变换(DCT)的反变换。
示例
import numpy as np
from scipy.fftpack import dct,idct
y = idct(np.array([4., 3., 5., 10., 5., 3.]))
print(y)
输出
[ 39.15085889 -20.14213562 -6.45392043 7.13341236 8.14213562
-3.83035081]
