超平面与法向量
超平面
常见的平面概念是在三维空间中定义的:Ax+By+Cz+D=0,
而d维空间中的超平面由下面的方程确定:wTx+b=0,其中,w与x都是d维列向量,x=(x1,x2,…,xd)为平面上的点, w(w1,w,…,wd)为平面的法向量。b是一个实数, 代表平面与原点之间的距离.
点到超平面的距离:
假设点x′为超平面A:wTx+b=0上的任意一点, 则点x到A的距离为x−x′在超平面法向量w上的投影长度:
d=|wT(x−x′)|||w||=|wTx+b|||w||
超平面的正面与反面:
一个超平面可以将它所在的空间分为两半, 它的法向量指向的那一半对应的一面是它的正面, 另一面则是它的反面。
若将距离公式中分子的绝对值去掉, 让它可以为正为负. 那么, 它的值正得越大, 代表点在平面的正向且与平面的距离越远. 反之, 它的值负得越大, 代表点在平面的反向且与平面的距离越远。
法向量的意义
在空间里,向量可以看做是一个点(以原点为起始点的向量),对于分离超平面方程里的向量x,就可以看做由坐标原点到超平面任意“点”的向量,法向量的大小是坐标原点到分离超平面的距离,垂直于分离超平面,方向有分离超平面决定。
支持向量机的一些理解
首先如果超平面的形式为:w1x1+w2x2+⋯+wNxN+b=0,向量化表示为:wTx+b=0
Notes:
统一超平面的形式:即在w,b同时扩大或缩小相同倍数后得到不同的超平面形式,但其实代表同一超平面。此时可以通过找到离这条直线最近的点x0,方程两边同时除以wTx+b,注意离超平面最近的点使得wTx+b=1,其他的点都是wTx+b⩾,再利用样本的标签+1,−1使得到的超平面方程统一化。此时数据集到求出的超平面的最短距离是\frac{1}{||w||}
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