二分图题目
当时看到网上有人的博客写着最小边覆盖，也有人写最小路径覆盖，我就有点方了，斌哥（kuangbin）的博客上只给了代码，没有解释，但是现在我还是明白了，这是个最小路径覆盖（因为我现在还不知道啥叫最小边覆盖）。
有一篇博客如下写道：最小路径覆盖只对有向无环图而言，且并不要求原图是二分图，给所有点一个分身，让他们分别处于两个集合就可以，求出的最小路径覆盖 = n - 最大匹配值。
证明：假设最大匹配值是0，那原先一共有n个路径，每次多一个匹配，这样的路径就减少1，证明完毕。
那么回到这个题，这个题到底是有向图还是无向图呢？其实这取决于你的建图方式，这个图的难点也是建图，我先说下我的建图经历：
一开始我是想把一个点（x，y）化成一位坐标系X*m+Y，建立一个无向图，然后使用复制的方法后来发现这种方式是不太好的，因为它浪费了很多的空间，而且日狗的是还出现了莫名其妙的错误，所以我也决定不粘贴自己的代码了，于是我开始求助斌哥，看他博客里采用了一种hash的思想，我感觉是非常好的，他使用的是无向图的建立方式，然后最小路径覆盖 = n - 最大匹配值 / 2，因为复制之后的匹配，每个边都被匹配了两次，这个自己画一下就能看出来。这个方法的正确性毫无置疑，再次附上斌哥的博客地址以及代码。http://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2012/08/26/2657446.html
#include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> using namespace std; const int MAXN=510; int uN,vN;//u,v数目 int g[MAXN][MAXN]; int linker[MAXN]; bool used[MAXN]; bool dfs(int u)//从左边开始找增广路径 { int v; for(v=0; v<vN; v++) //这个顶点编号从0开始，若要从1开始需要修改 if(g[u][v]&&!used[v]) { used[v]=true; if(linker[v]==-1||dfs(linker[v])) { linker[v]=u; return true; } } return false;//这个不要忘了，经常忘记这句 } int hungary() { int res=0; int u; memset(linker,-1,sizeof(linker)); for(u=0; u<uN; u++) { memset(used,0,sizeof(used)); if(dfs(u)) res++; } return res; } char map[50][50]; int hash[50][50]; int main() { int T; int h,w; scanf("%d",&T); int tol; while(T--) { scanf("%d%d",&h,&w); tol=0; for(int i=0; i<h; i++) { scanf("%s",&map[i]); for(int j=0; j<w; j++) if(map[i][j]=='*') hash[i][j]=tol++; } memset(g,0,sizeof(g)); for(int i=0; i<h; i++) for(int j=0; j<w; j++) if(map[i][j]=='*') { if(i>0&&map[i-1][j]=='*')g[hash[i][j]][hash[i-1][j]]=1; if(i<h-1&&map[i+1][j]=='*') g[hash[i][j]][hash[i+1][j]]=1; if(j>0&&map[i][j-1]=='*') g[hash[i][j]][hash[i][j-1]]=1; if(j<w-1&&map[i][j+1]=='*') g[hash[i][j]][hash[i][j+1]]=1; } uN=vN=tol; printf("%d\n",tol-hungary()/2); } return 0; }
那么有向图怎么建呢，某位大牛说很难建，因为还要判断这个边是否出现过，但其实并没有那么复杂，我们采用根据（i+j）的奇偶性的建图，建出来的就是一个有向图，因为与他相连的点奇偶性肯定与他不同，所以这样建图是正确的，想到这种方法的大神就是把这个题说成是最小边覆盖的人，我附上他的博客地址以及代码。http://blog.csdn.net/y990041769/article/details/37900991
其实要分清有向图和无向图的最小路径覆盖也很简单，思考这样一个问题，有向图1->2->3，匹配是2，无向图1 - 2 - 3，把它当成有向图去考虑，假如我们把12匹配了，23就不能匹配了，因为无向图就是一个双向的有向图，既然选择这条边，那么就选择了正反向两条边，如果在选23，那么2这个点的入度和出度不是1了，也就不是正确的匹配了～
最后针对奇偶性建图再说一句，我更加推荐这种方法，比较的有思维水平，在这种建图方式中不会出现连指向，奇偶必须间隔，所以每个路径只能含有一条边，从而也验证了该种方式的正确性。
#include <cstdio> #include <cstring> #include <string> #include <iostream> #include <algorithm> #include <cmath> using namespace std; const int N = 1200; #define Del(x,y) memset(x,y,sizeof(x)) int map[N][N],link[N],vis[N],vlink[N]; char path[50][50]; int line[50][50]; int n,m,t,tmp1,tmp2; bool dfs(int x) { for(int i=1; i<tmp2; i++) { if(map[x][i]==1 && vis[i]==0) { vis[i]=1; if(link[i]==-1 || dfs(link[i])) { link[i]=x; return true; } } } return false; } void solve() { int ans=0; Del(link,-1); for(int i=1; i<tmp1; i++) { Del(vis,0); if(dfs(i)) ans++; } //printf("%d\n",ans); printf("%d\n",tmp1+tmp2-ans-2); } int main() { int T; scanf("%d",&T); //freopen("Input.txt","r",stdin); while(T--) { scanf("%d%d",&n,&m); Del(path,0); for(int i=1;i<=n;i++) { getchar(); for(int j=1;j<=m;j++) scanf("%c",&path[i][j]); } Del(line,-1); tmp1=1,tmp2=1; for(int i=1;i<=n;i++) { for(int j=1;j<=m;j++) { if(path[i][j]=='*') { if((i+j)%2==0) line[i][j]=tmp1++; else line[i][j]=tmp2++; } } } Del(map,0); for(int i=1; i<=n; i++) { for(int j=1; j<=m; j++) { if(path[i][j]=='*' && (i+j)%2==1) { if(line[i-1][j]>=1) map[line[i-1][j]][line[i][j]]=1; if(line[i+1][j]>=1) map[line[i+1][j]][line[i][j]]=1; if(line[i][j-1]>=1) map[line[i][j-1]][line[i][j]]=1; if(line[i][j+1]>=1) map[line[i][j+1]][line[i][j]]=1; } } } solve(); } return 0; }
