插值法：

直线公式：

(y-y0)/(x-x0)=(y1-y0)/(x1-x0)

解方程得：y=y0+(x-x0)*(y1-y0)/(x1-x0)

拉格朗日插值法：

对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式；

用途：1 根据不同观测点的一组值拟合出公式

2 进行插值运算。

假设有某个二次多项式函数 $f$ ，已知它在三个点上的取值为：

$f(4)=10$
$f(5)=5.25$
$f(6)=1$

要求 $f(18)$ 的值。

首先写出每个拉格朗日基本多项式：

$\ell _{0}(x)={\frac {(x-5)(x-6)}{(4-5)(4-6)}}$

$\ell _{1}(x)={\frac {(x-4)(x-6)}{(5-4)(5-6)}}$

$\ell _{2}(x)={\frac {(x-4)(x-5)}{(6-4)(6-5)}}$

然后应用拉格朗日插值法，就可以得到 $p$ 的表达式（ $p$ 为函数 $f$ 的插值函数）：

$p(x)=f(4)\ell _{0}(x)+f(5)\ell _{1}(x)+f(6)\ell _{2}(x)$

$.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=10\cdot {\frac {(x-5)(x-6)}{(4-5)(4-6)}}+5.25\cdot {\frac {(x-4)(x-6)}{(5-4)(5-6)}}+1\cdot {\frac {(x-4)(x-5)}{(6-4)(6-5)}}$
$.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,={\frac {1}{4}}(x^{2}-28x+136)$

此时代入数值 $\ 18$ 就可以求出所需之值： $\ f(18)=p(18)=-11$ 。

C算法：

引用：实验二：Lagrange拉格朗日插值法之C语言代码 - Chen_dSir的博客 - CSDN博客 https://blog.csdn.net/Chen_dSir/article/details/70236987

ypedef struct stPoint
{
　　double x;
　　double y;
} Point
#define Dots_N 5

Point Dots[Dots_N];
/*n 为插入的点的个数，tmp为拉格朗日基函数，x为要插入的点，lagrange为插值运算后返回的值。*/
double f32Lagrange_LineSert(Point *points,u8 n,double x)
{
　　u8 i ,j;
　　double tmp,lagrange=0;//这个x是你将要计算的f(x)插值点，tmp是拉格朗日基函数，larange是根据拉格朗日函数得出f(x)的值
　　for(i=0;i<=n;i++)
　　{
　　　　for(j=0,tmp=1;j<=n;j++)
　　　　{
　　　　　　if(j!=i) //去掉xi与xj相等的情况,范德蒙行列式下标就是j!=k,相等分母为０就没意义了
　　　　　　{
　　　　　　　　tmp=tmp*(x-points[j].x)/(points[i].x-points[j].x);//这个就是套公式tmp是拉格朗日基函数
　　　　　　}
　　　　}
　　　　lagrange=lagrange+tmp*points[i].y; //最后计算基函数*y,全部加起来，就是该x项的拉格朗日函数了
　　}
　　return lagrange;
}

posted on 2018-12-25 14:24 杰瑞鼠阅读(1582) 评论(0) 编辑收藏举报