第一章 多元函数的极限与连续

一、平面点集

坐标平面上满足某种条件$P$ 的点的集合成为平面点集，记作

$$E=\{(x,y)|(x,y)\mathrm{满}\mathrm{足}\mathrm{条}\mathrm{件}P\}.$$

例如 全平面上的点所组成的点集是

$${\mathbb{R}}^2=\{(x,y)|-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty }<y<+\mathrm{\infty }\}.$$

集合

$$S=\{(x,y)|a\le x\le b,c\le y\le d\}.$$

则为一矩阵及其内部所有点的全体, 通常也记作 $[a,b]\times [c,d]$.

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平面点集

$$\{(x,y)|(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2<{\delta }^2\}$$

与

$$\{(x,y)||x-x_0|<\delta ,|y-y_0|<\delta \}$$

分别称为以点$A(x_0,y_0)$为中心的 $\delta$ 圆邻域 与 $\delta$ 方邻域.
二者统称为"点 $A$ 的 $\delta$ 邻域" 或 "点 $A$ 的邻域", 记作 $U(A;\delta )$ 或 $U(A)$.

点 $A$ 的空心邻域是指

$$\{(x,y)|0<(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2<{\delta }^2\}$$

或

$$\{(x,y)||x-x_0|<\delta ,|y-y_0|<\delta ,(x,y)\ne (x_0,y_0)\}$$

并用记号 $U^{\circ }(A;\delta )$ 或 $U^{\circ }(A)$ 来表示.

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任意一点 $A\in {\mathbb{R}}^2$ 与任意点集 $E\subset {\mathbb{R}}^2$ 必定存在以下三种关系:

1. 内点: $\mathrm{\exists }U(A)$ s.t. $U(A)\subset E$. 则 $A$ 为内点.
2. 外点: $\mathrm{\exists }U(A)$ s.t. $U(A)\cap E=\varnothing$. 则 $A$ 为外点.
3. 界点: $\mathrm{\forall }\delta >0$ 恒有 $U(A;\delta )\cap E\ne \varnothing$ 且 $U(A;\delta )\cap E^c\ne \varnothing$. 则 $A$ 为界点.
   其中 $E^c={\mathbb{R}}^2\setminus E$ 是 $E$ 关于全平面的余集.
   $E$ 的全体界点构成 $E$ 的边界, 记作 $\partial E$.
   $E$ 的内点必定属于 $E$, $E$ 的外点必定不属于 $E$, $E$ 的界点可能属于 $E$ , 也可能不属于 $E$.

按在点 $A$ 的近旁是否密集着 $E$ 中无穷个点而构成另一类关系:

1. 聚点: $\mathrm{\forall }U(A)$ 有 $U^{\circ }(A)\cap E\ne \varnothing$. 聚点可能属于 $E$ , 也可能不属于 $E$.
2. 孤立点; 若 $A\in E$ 且 $\mathrm{\exists }\delta >0$ s.t. $U^{\circ }(A;\delta )\cap E=\varnothing$, 则 $A$ 是 $E$ 的孤立点.
   孤立点一定是界点,
   内点和非孤立点的界点一定是聚点,
   既不是聚点, 又不是孤立点, 则必为外点.

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定义一些重要的平面点集:

1. 开集 -- 若平面点集中每一点都是 $E$ 的内点( 即 $intE=E$ ), 则称 $E$ 为开集.
2. 闭集 -- 若平面点集 $E$ 的所有聚点都属于 $E$ , 则称 $E$ 为闭集. 若点集 $E$ 没有聚点, 这时也称 $E$ 为闭集.
   根据定义, 点集 ${\mathbb{R}}^2$ 既是开集又是闭集. 我们约定空集 $\varnothing$ 既是开集又是闭集.
   可以证明, 在一切平面点集中, 只有 ${\mathbb{R}}^2$ 与 $\varnothing$ 是即开又闭的点集.
3. 开域 -- 若非空开集 $E$ 具有连通性, 即 $E$ 中任意两点之间都可用一条完全含于 $E$ 的有限折线相连接, 则称 $E$ 为开域( 即开域就是非空连通开集 ).
4. 闭域 -- 开域连同其边界所成的点集称为闭域.
5. 区域 -- 开域, 闭域, 或者开域连同其一部分界点所称的点集, 统称为区域.
6. 有界点集 -- 对于平面点集 $E$ , 若 $\mathrm{\exists }r>0$ s.t. $E\subset U(O;r)$ , 其中 $O$ 是坐标原点(也可以是其他固定点), 则称 $E$ 是有界点集.
   $E$ 为有界点集的另一种等价说法: 存在矩形区域 $D=[a,b]\times [c,d]\supset E$.
   定义点集 $E$ 的直径为

$$d(E)=\underset{P_1,P_2\in E}{sup}\rho (P_1,P_2)$$

其中 $\rho (P_1,P_2)$ 表示 $P_1$ 与 $P_2$ 两点之间的距离.

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例题: 证明: $\mathrm{\forall }S\subset {\mathbb{R}}^2$, $\partial S$ 恒为闭集.

证:
设 $x_0$ 为 $\partial S$ 的任一聚点, 要证 $x_0\in \partial S$.
$\mathrm{\forall }\epsilon >0$ , 存在 $y\in U^{\circ }(x_0;\epsilon )\cap \partial S$.
又 $y$ 是 $S$ 的界点, 所以 $\mathrm{\forall }U(y;\delta )\subset U(x_0;\epsilon )$, $U(y;\delta )$ 上既有 $S$ 的点, 又有非 $S$ 的点.
于是 $U(x_0;\epsilon )$ 上也既有 $S$ 的点, 又有非 $S$ 的点, 由 $\epsilon$ 的任意性, 推知 $x_0$ 是 $S$ 的界点
证毕.

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