复变函数与积分变换学习笔记

定义

• 邻域：是开集
• 区域：也是开集；闭区域才是闭集
• 区域单连通和多连通：取决于中间有没有洞，无就是单连通。通常把多联通的转化为单连通来解决问题。
• 内点：某个点存在邻域全在某区域内。同理还有 外点，边界点
• 简单曲线（若当曲线）：中间没有任意两点重叠的曲线。
• 简单闭曲线（若当闭曲线）：简单曲线首尾相接，，，拓扑一下是个圈

• 复变函数$w=f(z)$ 实质上是两个二元实变函数$ u(x,y),v(x,y) $一个复变函数对应两个二元实变函数，两个二元实变函数也对应着一个复变函数。

可导与解析

• 复变函数导数和微分的概念沿用实变函数
• $f(z)=u(x,y)+v(x,y)z$    ，$f(z)$解析➡$u(x,y),v(x,y)$可导，反之不成立（反例超多）。所以看起来形式很简单的复变函数，它可能是不解析的。处处不解析的复变函数很多，但是处处不可导的实变函数很少遇到。
• 解析：在某点的邻域内处处可导则解析，（那样的话在这个邻域内都是解析的）。
• 奇点：在某个点可导，但是不解析
• 有理函数解析
• 某些函数解析，他们的四则运算解析

 在区域D解析的充要条件

• $f(z)=u(x,y)+v(x,y)i$ ①$u,v$在区域D上可微②$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} $ 且 $\frac{\partial u}{\partial y} =- \frac{\partial v}{\partial x}$
  • • 一般二元函数的导数：$\frac{ u(x+\Delta x,y+\Delta y)-u(x,y) } { \Delta x^2+\Delta y^2 }$
• 关于第二个的证明：$ \frac { f(z+\Delta z)-f(z) } { \Delta z } = \frac { u(x+\Delta x,y+\Delta y)+v(x+\Delta x,y+\Delta y)i-(u(x,y)+v(x,y)i) } { \Delta x +\Delta yi } $光看实部或者光看虚部

积分

定义

• 在曲线c上积分：是否有积分取决于函数是否在曲线上连续，（注意在曲线上连续 ≠ 在该点连续，函数可能处处不连续但是在曲线C连续，因为在曲线c上连续是指函数沿着该曲线逼近一个点时函数值逼近该点函数值，而在该点连续时从任何方向逼近该点极限需要相等且等于函数值）
• 定义同普通积分定义，分成很多小段然后小段值乘以小段函数值
• 形式上与第二类曲线积分很相似 $(u+vi)*(dx+dyi)=udx-vdy+(vdx+udy)i$

• 如果$f(z)=u(x,y)+v(x,y)i$ ，则积分是   $ \int udx-vdy+i \int vdx+udy $

柯西积分定理

柯西-古萨定理   

• 函数$w=f(z)$在闭区域D上解析，则在该区域上任何一条闭合曲线积分为0（严格证明是个坑，以后添上）

复合闭路定理

• 遇到多联通区域时候，一条曲线里面包了很多小曲线，它们中间的区域解析，则$\Gamma$为所有的曲线，$\Gamma$这个的积分是0，可以通过中间画线来证明