微积分笔记 无穷级数

研究无穷级数关心的问题：到底能不能收敛成一个数？本质是研究数列的收敛性

常数项级数

• 本质是数列，如研究{xn}的极限存在问题等于研究sum{xn-xn-1}这个级数的收敛性问题
• 满足线性运算法则：一堆收敛的经过线性运算之后仍然收敛
• 对于收敛级数，存在结合律（将级数任意加括号后形成的新级数仍收敛于原级数之和）（证明提示：单调数列收敛，其子数列收敛）

必要条件：lim un -> 0

• 第一眼看这个，如果这个都不满足，那一定不收敛。
• 就是说正向级数如果是单增的那一定就不收敛（要么极限不存在要么不为0）

重要级数

• \begin{equation*} \sum ^{\infty }_{n=1} \ \frac{1}{n^{p}} \end{equation*}         
•  p=1的时候是

\begin{gather*} \sum ^{\infty }_{n=1}\frac{1}{\ \ n} \end{gather*}，lnx的导数就是1/x，所以这个级数是类似于ln(n)的，而   \begin{gather*}\lim _{x\rightarrow \infty } \ \ \ \ln x=\infty  \end{gather*} ,所以可以知道此时该级数不是一个数。

           然后p<1的时候它更大所以肯定也不是一个数

           p>1时收敛（待填坑）

• \begin{gather*} \sum ^{\infty }_{n=0} \ a_{n} \ q^{n} \end{gather*}

          等比数列，q<1时收敛

 正项级数判断收敛

比较审敛

• 大的收，小的一定收            证明：单调有界定理
• 小的发散，大的一定发散     证明：如果大的收敛，由上小的收敛，矛盾

比值审敛

• 
  \begin{equation*} \lim _{n\rightarrow \infty } \ \ \frac{a_{n}}{a_{n-1}} \ < 1 \end{equation*}
• 用等比数列证，总能有一个公比＞上面的极限，然后就相当于每次乘以那个公比，然后那个公比的级数都收敛，这个比它小的肯定也收敛

开根

• 
  \begin{equation*} \lim _{n\rightarrow \infty } \ \ \sqrt[n]{a_{n}} \ < \ 1 \end{equation*}
• 还是用等比数列，乘方n了之后相当于是那个小于一的数的n次方，用一个比它极限大的公比q可证

交错级数判断收敛

• 
  \begin{gather*} \sum ^{\infty }_{n=1} \ ( -1)^{n} \ a_{n} \ \ （其中a_{n} >0）\\ 收敛条件：1.\lim _{n\rightarrow \infty } a_{n} \ =0\ \ \ \ \ \ 2.\ a_{n} 单调不增\\ 证明：（假设第一项为正）前一项减去后一项为正，整个正项级数，然后改一下\\ 括号位置，可知有上界a_{1} ,所以收敛。\\ \end{gather*}

一般级数判断收敛

绝对值收敛，绝对收敛

 
\begin{gather*} 如果\ \sum |a_{n} |\ 收敛，那\sum a_{n} +|a_{n} |收敛（比前面的小），\\ 那\sum a_{n} +|a_{n} |-a_{n} 收敛（线性运算法则）\\ \end{gather*}

绝对值不收敛但它自己收敛，条件收敛

比如说前面的交错级数，单调不增的正项级数不一定收敛，但是作为交错级数就收敛了