莫比乌斯反演 刷题记录

BZOJ1101: [POI2007]Zap

• 题意：对于给定的整数a,b和d，求有多少正整数对x,y，满足x<=a，y<=b，并且gcd(x,y)=d
• 直接求有多少正整数对x,y，gcd(x,y)=d比较难求，而且询问有50000个，
• 
  

  
  \begin{gather*}
  要求\ \ \ \ \ \ \ \ f( n) =\ \sum\nolimits ^{\ b}_{\ y=1} \ \ \sum\nolimits ^{\ a}_{\ x=1} \ [ \ gcd( x,y) =n\ ]\\
  \\
  则\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ F( n) =\sum\nolimits ^{\ b}_{\ y=1}\sum\nolimits ^{\ a}_{\ x=1}\sum\nolimits _{\ n|gcd( x,y)} \ 1\\
  \\
  因为\ \ \ \ \ \ \ \sum\nolimits _{\ n|gcd( x,y)} 1=\sum\nolimits _{\ n|d} \ [ \ gcd( x,y) =d\ ]\\
  \\
  F( n) \ =\ \sum\nolimits _{\ n|d} \ \ f( d)\\
  \\
  然后就是莫比乌斯反演辣\\
  \\
  \end{gather*}

• 代码：

• #include <bits/stdc++.h>
  #define nmax 50010
   
  using namespace std;
  int pri[nmax],table[nmax],mu[nmax];
  int cp=-1;
   
  void getmu(){
      for (int i=2; i<nmax; i++) {
          if(table[i]==0) { pri[++cp]=i; mu[i]=-1; }
          for (int j=0; j<=cp; j++) {
              int t=i*pri[j];
              if(t>=nmax) break;
              table[t]=1;
              if(i%pri[j]==0) {mu[t]=0; break;}
              mu[t]=mu[i]*(-1);
          }
      }
      mu[1]=1;
      for (int i=0; i<nmax; i++) mu[i]+=mu[i-1];
  }
   
  int main(){
      int n,a,b,d;
      getmu();
       cin>>n;
      while(n--){
          scanf("%d%d%d",&a,&b,&d);
          if(a>b) swap(a,b);
          a/=d;
          b/=d;
          //分块算答案
          int last,ans=0;
          for (int i=1; i<=a; i=last+1){
              last=min( a/(a/i) , b/(b/i) );
              ans+=(a/i)*(b/i)*(mu[last]-mu[i-1]);
          }
          printf("%d\n",ans);
      }
      return 0;
  }

   

POJ3904 Sky Code

• 给出一堆数，让你找有多少个四元组（a,b,c,d），满足a,b,c,d的gcd为1
• 比较裸的莫比乌斯反演，跟上面一样
• F（n) 为满足n|gcd(a,b,c,d)的四元组个数，f(n)为满足gcd(a,b,c,d)=1的四元组个数
•  于是这样
  \begin{equation*}
  F( n) =\sum\limits _{n|d} f( d)
  \end{equation*}
• 于是就可以根据公式反演了
• 代码：

  #include <algorithm>
  #include <cstring>
  #include <iostream>
  #include <cstdio>
  #define nmax 10010
  
  using namespace std;
  typedef long long ll;
  int n,minx,cp=0;
  int t1[nmax]={0},in[nmax],mu[nmax],t3[nmax],pri[nmax];
  ll c[nmax][5]={0};
  ll ans;
  
  void getmu(){
      for (int i=2; i<nmax; i++) {
          if(t3[i]==0) { pri[++cp]=i; mu[i]=-1; }
          for (int j=1; j<=cp; j++) {
              int tx=i*pri[j];
              if(tx>nmax) break;
              t3[tx]=1;
              if(i%pri[j]==0) break;
              mu[tx]=mu[i]*(-1);
          }
      }
      mu[1]=1;
  }
  
  int main(){
      //组合数的表 c
      for (ll i=1; i<nmax; i++) c[i][1]=i;
      for (ll i=2; i<=4; i++) c[i][i]=1;
      for (ll j=2; j<=4; j++) for (ll i=j+1; i<nmax; i++) c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
      //莫比乌斯函数的表 mu
      getmu();
      while(scanf("%d",&n)!=EOF){
          memset(t1,0,sizeof(t1));
          ans=0;
          minx=nmax*10;
          for (int i=0; i<n; i++) { scanf("%d",&in[i]); minx=min(minx,in[i]); }
          //t1[i]有多少个数是i的倍数
          for (int i=0; i<n; i++) for (int j=1; j*j<=in[i]; j++) {
              if(in[i]%j==0) {
                  t1[j]++;
                  if( j != in[i]/j ) t1[in[i]/j]++;
              }
          }
  
          //反演部分
          for (int i=1; i<nmax; i++) ans+=mu[i]*c[ t1[i] ][4];
          printf("%lld\n",ans);
      }
      return 0;
  }