UVA 10600 & 次小生成树

这道题涉及次小生成树，有必要先弄明白次小生成树是怎么一回事。

次小生成树，顾名知义。一个定理是，次小生成树可以由最小生成树交换一条边得到。这怎么证明，可以上网搜一下。但有必要提醒的是，交换过来的这样一条边，必须是未成使用过的（即不是最小生成树的边）。而且，交换走的边，必须是已存在的，而且是两点间最短路径的最大边权的边。

所以，可以在求最小生成树时求这最大边权的边。

void prim(){
    memset(f,0,sizeof(f));
    least[1]=0;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        least[i]=map[1][i];
        if(least[i]!=inf)
        pre[i]=1;
    }
    vis[1]=true;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int min=inf,p=-1;
        for(int k=1;k<=n;k++){
            if(least[k]<min&&!vis[k]){
                p=k; min=least[k];
            }
        }

        if(p==-1) return ;
        ans1+=min;
        used[pre[p]][p]=used[p][pre[p]]=1;
        for(int j=1;j<=n;j++){ //应该是已访问的点，这样边是已使用
        if(vis[j])
        f[j][p]=max(f[j][pre[p]],map[pre[p]][p]);
        f[p][j]=f[j][p];
        }
        vis[p]=true;
        for(int k=1;k<=n;k++){
            if(!vis[k]&&map[p][k]<least[k]){
                least[k]=map[p][k];
                pre[k]=p;
            }
        }
    }
}

UV10600是裸的次小生成树题。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int MAXN=105;
const int inf=10000000;
int map[MAXN][MAXN]; int f[MAXN][MAXN];
bool exist[MAXN][MAXN],used[MAXN][MAXN];
int least[MAXN],pre[MAXN]; bool vis[MAXN]; 
int n,m,ans1,ans2;

void prim(){
memset(f,0,sizeof(f));
least[1]=0;
for(int i=2;i<=n;i++){
least[i]=map[1][i];
if(least[i]!=inf)
pre[i]=1;
}
vis[1]=true;
for(int i=1;i<=n;i++){
int min=inf,p=-1;
for(int k=1;k<=n;k++){
if(least[k]<min&&!vis[k]){
p=k; min=least[k];
}
}

if(p==-1) return ;
ans1+=min;
used[pre[p]][p]=used[p][pre[p]]=1;
for(int j=1;j<=n;j++){
if(vis[j])
f[j][p]=max(f[j][pre[p]],map[pre[p]][p]);
f[p][j]=f[j][p];
}
vis[p]=true;
for(int k=1;k<=n;k++){
if(!vis[k]&&map[p][k]<least[k]){
least[k]=map[p][k];
pre[k]=p;
}
}
}
}

void secondT(){
ans2=inf;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
if(exist[i][j]&&!used[i][j]&&ans1 + map[i][j] - f[i][j] < ans2)
ans2=ans1 + map[i][j] - f[i][j];
}
}
}

int main(){
int T; 
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%d%d",&n,&m);
int u,v,d;
ans1=ans2=0;
memset(exist,-1,sizeof(exist));
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=i;j<=n;j++)
map[i][j]=map[j][i]=inf;
}
for(int i=1;i<=m;i++){
scanf("%d%d%d",&u,&v,&d);
map[u][v]=map[v][u]=d;
exist[u][v]=exist[v][u]=1;
}
memset(pre,-1,sizeof(pre));
memset(used,0,sizeof(used));
memset(vis,false,sizeof(vis));
prim();
secondT();
printf("%d %d\n",ans1,ans2);
}
return 0;
}