递归函数

在数学上，关于递归函数的定义如下：对于某一函数f(x)，其定义域是集合A，那么若对于A集合中的某一个值X0，其函数值f(x0)由f(f(x0))决定，那么就称f(x)为递归函数。

在数理逻辑和计算机科学中，递归函数或μ-递归函数是一类从自然数到自然数的函数，它是在某种直觉意义上是"可计算的" 。事实上，在可计算性理论中证明了递归函数精确的是图灵机的可计算函数。递归函数有关于原始递归函数，并且它们的归纳定义(见下)建造在原始递归函数之上。但是，不是所有递归函数都是原始递归函数 — 最著名的这种函数是阿克曼函数。

其他等价的函数类是λ-递归函数和马尔可夫算法可计算的函数。

一个直接的例子

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//代码1 void func() { //... if(...) func(); lse //... }

条件

一个含直接或间接调用本函数语句的函数被称之为递归函数，在上面的例子中能够看出，它必须满足以下两个条件：

1） 在每一次调用自己时，必须是（在某种意义上）更接近于解；

2） 必须有一个终止处理或计算的准则。

例如：

梵塔的递归函数

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//C void hanoi(int n,char x,char y,char z) { if(n==1) move(x,1,z); else { hanoi(n-1,x,z,y); move(x,n,z); hanoi(n-1,y,x,z); } }

阶乘的递归函数，公式如下：

 

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//C++ int Factorial(int n) { if(n==0||n==1) return 1; else return n * Factorial(n-1) }

我们先定义几个初等函数

(1)零函数 Z(x)=0;

(2)后继函数 S(x)=x+1;

(3)广义幺函数 U1n(x1，…xn)=xi;

显然，上面这些函数都是能行可计算的。

再介绍几个将函数变换为函数的算子。

(1)复合算子 设f是n元函数，g1…gn是m元函数，复合算子将f，g1…gn变换成为如下的m元函数h：

h(x1…xm)=f1g1(x1，…xm)，…gn(x1，…xm))

(2)递归算子 设f是n元函数 (≥0)，g是n+2元函数，递归算子将f，g变换成满足下列条件的h+1元函数h：

h(x1，…，xn，0)=f(x1，…xn)

h(x1，…xn，y+1)=g(x1，…xn，y，h(x1，…xn))

(3)μ一算子，设f是n+1元函数，如果存在y，使f(x1，…xn，y)=0，我们以μyf(x1…xny)表示这样的y中的最小者，如果使f(x1…xny)=0的y不存在，我们说μyf(x1，…xny)无定义。μ-算子将n+1元函数f变换成下面的几元函数h

h(x1，…xn)=μyf(x1…xny)

注意，μ算子可以将一个全函数变换成一个部分函数(即在自然数的某个子集上有定义的函数)。