最大子数组和股票买卖问题
最大子数组问题
最大子数组问题：一个整数数组中的元素有正有负，在该数组中找出一个连续子数组，要求该连续子数组中各元素的和最大，并返回该最大值.
求解最大子数组问题用Kadane's algorithm。 卡登算法的思想是，给定一个数组A，假如我们已经知道了以数组第i个位置结尾的最大子数组为\(B_i\)，那么在第i+1个位置结尾的最大子数组要么包含\(B_i\),要么不包含\(B_i\)，如果将\(B\)看作是动态规划当中的状态，那么状态转移方程是：$B_{i+1} = max (A_i, A_i + B_i) $
比如要计算数组 x = [-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4] 的最大子数组，第一个位置的最大和为-2，第2个位置的最大和为max(1,-2+1) = 1,第三个位置最大和为max(-3,-3+1) = -2,那么依次类推，可以求出来以第i个位置结尾的最大和分别为
[0 , 1, -2, 4, 3, 5, 6, 1, 5]。
具体的算法是这样的：
def max_subarray(arr):
current_max_sum = max_sum = 0
for i in arr:
current_max_sum = max(i, current_max_sum+i)
max_sum = max(current_max_sum, max_sum)
return max_sum
leetcode 121. Best Time to Buy and Sell Stock
买卖股票的最佳时机
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。如果你最多只允许完成一笔交易（即买入和卖出一支股票），设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。注意你不能在买入股票前卖出股票。
示例 1:
输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 5
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5。注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格。
示例 2:
输入: [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
解法一
直接将后一天的股票价格减去前一天的股票价格，表示第i-1天买入并且在第i天卖出获得的利润。然后求一个连续的利润，使得和最大，那么这个问题转换为求最大子数组问题。
比如对于[7,1,5,3,6,4]，用后一天的价格减去前一天的价格，并把第一天的值置为0，每天可以获得的利润为：[0,-6,4,-2,3,-2]
Python代码如下：
class Solution:
def maxProfit(self, prices):
"""
:type prices: List[int]
:rtype: int
"""
for i in range(len(prices)-1, 0, -1):
prices[i] = prices[i] - prices[i-1]
max_profits = 0
current_profits = 0
for i in prices[1:]:
current_profits = max(current_profits+i, 0)
max_profits = max(max_profits, current_profits)
return max_profits
关于程序的说明：
对于程序的第13行，程序可以写为current_profits = max(current_profits+i, i)，这对于计算结果没问题，但是对于计算current_profits的值会有影响。试想一下当输入为[3,2,1]的时候,经过处理以后数组变为了[3,-1,-1]，那么current_profits，会计算出来-1，-1这样的值，但是这是不可能的，因为我们完全可以不买，使用0值就可以了，所以将这里替换为current_profits = max(current_profits+i, 0)，
解法二
将上面的代码优化一下，可以一遍来完成。current_profits = max(0, current_profits+prices[i]-prices[i-1])
class Solution:
def maxProfit(self, prices):
"""
:type prices: List[int]
:rtype: int
"""
max_profits = 0
current_profits = 0
for i in range(1, len(prices)):
current_profits = max(0, current_profits + prices[i] - prices[i-1])
max_profits = max(max_profits, current_profits)
return max_profits
leetcode121.Best Time to Buy and Sell Stock II
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）。注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:
输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 7
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出,这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-3 = 3 。
示例 2:
输入: [1,2,3,4,5]
输出: 4
解释: 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出,这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
示例 3:
输入: [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
贪心算法走一波，贪心算法可以解决这个问题，只要当前的价格比昨天的价格高，那么就计算一次收益，最终的收益和就是能够获取的最大的收益。
Python代码如下：
class Solution:
def maxProfit(self, prices):
"""
:type prices: List[int]
:rtype: int
"""
res = 0
for i in range(1, len(prices)):
diff = prices[i] - prices[i-1]
if diff > 0:
res += diff
return res
