数据结构之----树

 

树的概念

树（英语：tree）是一种抽象数据类型（ADT）或是实作这种抽象数据类型的数据结构，用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n（n>=1）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

• 每个节点有零个或多个子节点；
• 没有父节点的节点称为根节点；
• 每一个非根节点有且只有一个父节点；
• 除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树.

树的术语

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；
• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；
• 叶节点或终端节点：度为零的节点；
• 父亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
• 树的高度或深度：树中节点的最大层次；
• 堂兄弟节点：父节点在同一层的节点互为堂兄弟；
• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；
• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
• 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；

树的种类

• 无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也称为自由树；
• 有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系，这种树称为有序树；
  • 二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树；
    • 完全二叉树：对于一颗二叉树，假设其深度为d(d>1)。除了第d层外，其它各层的节点数目均已达最大值，且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列，这样的二叉树被称为完全二叉树，其中满二叉树的定义是所有叶节点都在最底层的完全二叉树;
    • 平衡二叉树（AVL树）：当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树；
    • 排序二叉树（二叉查找树（英语：Binary Search Tree），也称二叉搜索树、有序二叉树）；
  • 霍夫曼树（用于信息编码）：带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树；
  • B树：一种对读写操作进行优化的自平衡的二叉查找树，能够保持数据有序，拥有多余两个子树。

二叉树的性质(特性)

性质1: 在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点（i>0）
性质2: 深度为k的二叉树至多有2^k - 1个结点（k>0）
性质3: 对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1;
性质4:具有n个结点的完全二叉树的深度必为 log2(n+1)
性质5:对完全二叉树，若从上至下、从左至右编号，则编号为i 的结点，其左孩子编号必为2i，其右孩子编号必为2i＋1；其双亲的编号必为i/2（i＝1 时为根,除外）

class Node:
    def __init__(self, value, left=None, right=None):
        self.value = value
        self.left = left
        self.right = right

class Tree:
    def __init__(self):
        self.root = None
    def add(self, value):
        node = Node(value)
        if self.root is None:
            self.root = node
        else:
            queue = [self.root, ]
            while True:
                cur = queue.pop(0)
                if cur.left is None:
                    cur.left = node
                    return 
                elif cur.right is None:
                    cur.right = node
                    return 
                else:
                    queue.append(cur.left)
                    queue.append(cur.right)
    def travel(self):
        """利用队列实现树的广度优先遍历"""
        cur, queue = self.root, []
        while cur:
            print(cur.value)
            if cur.left:
                queue.append(cur.left)
            if cur.right:
                queue.append(cur.right)
            cur = queue.pop(0) if len(queue) > 0 else None

    def preorder(self):
        """先序遍历"""
        cur, queue = self.root, []
        while cur:
            print(cur.value)
            if cur.left:
                queue.insert(0, cur.left)
            if cur.right:
                queue.insert(1, cur.right)
            cur = queue.pop(0) if len(queue) > 0 else None
    def preorder2(self, root):
        """递归实现先序遍历"""
        if root == None:
            return
        print(root.value)
        self.preorder2(root.left)
        self.preorder2(root.right)
    def inorder(self, root):
        """递归实现中序遍历"""
        if root == None:
          return
        self.inorder(root.left)
        print(root.value)
        self.inorder(root.right)
    def beorder(self, root):
        """递归实现中序遍历"""
        if root == None:
          return
        self.beorder(root.left)
        self.beorder(root.right)
        print(root.value)