十大排序算法--多图预警

 

十大排序算法

 

 

简单的排序算法

Θ(n^2)

插入排序

  • 动画演示

 

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  • 原理

    将数组看成两部分,一部分为已排序好的数组,后面的部分为未排序数组,每次从后面的数组中取出元素与前面的有序元素一一比较,若小于则向前移动,直到找到正确的位置插入。遍历后面的数组直到整个数组排序完成。

  • 代码

    // 准备工作,交换函数
    public static void exc(int[] a,int i, int j) {
            if (a[i]!=a[j]) {
                a[i]^=a[j];
                a[j]^=a[i];
                a[i]^=a[j];
            }
        }
    // 插入排序
    public static void insertSort(int[] a, int n) {
            for (int i = 1; i < n; i++) {
                for (int j = i; j>0&&a[j-1]>a[j]; j--) {
                    exc(a, j, j-1);
                }
            }
        }
  • 分析

    时间复杂度

    • 平均: n×n/4 次比较,n×n/4 次交换
    • 最好: n-1 次比较,0次交换
    • 最坏: n×n/2 次比较, n×n/2 交换

    评价:

    ​ 插入排序与数组的逆序度有关,最好情况为 O(n),所以经常与快速排序一起出现,详见C语言的quickSort的实现

冒泡排序

  • 动画演示

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  • 原理

    就像泡泡一样,不断把大的数字往上浮,遍历完整个数组排序即完成。

  • 代码

    public static void bubbleSort(int[] a, int n) {
            boolean flag = true;
            for (int i = 0; i < n-1&&flag; i++) {
                flag = false;
                for (int j = 0; j < n-i-1; j++) {
                    if (a[j]>a[j+1]) {
                        exc(a, j, j+1);
                        flag=true;
                    }
                }
            }
        }
  • 分析

    时间复杂度:

    • 平均情况下:冒泡比较的次数约是插入排序的两倍,移动次数一致。
    • 平均情况下: 冒泡比较的次数与选择排序是一样的,移动次数是O(n^2)。

评价:

大家也看到上述代码有个标记变量 flag,这是冒泡排序的一种改进,如果在第二次循环中没有发生交换说明排序已经完成,不需要再循环下去了。

选择排序

  • 动画演示

    selectSort

  • 原理

    选择排序的原理很简单,就是从需要排序的数据中选择最小的(从小到大排序),然后放在第一个,选择第二小的放在第二个……

  • 代码

    // 选择排序,稳定
        public static void selectSort(int[] a,int n) {
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                int min=i;
                for (int j = i+1; j < n; j++) {
                    if(a[min]>a[j]){
                        min = j;
                    }
                }
                if (min!=i) {
                    exc(a, i, min);
                }
                
            }
        }
  • 分析

    时间复杂度:

    • 比较的次数: (n-1)+(n-2)+...+1= n(n-1)/2

    • 交换的次数: n

    评价:

    • 运行时间与输入无关,因为前一次的操作,不能为后面提供信息
    • 数据的移动次数是最小的

高效的比较排序算法

Θ(nlog⁡n)

希尔排序

  • 图片演示

    shellSort

  • 原理

    希尔排序是基于插入排序进行改进,又称之为递减增量排序。在前面中我们知道,插入排序是将小的元素往前挪动位置,并且每次只移动一个位置。那么希尔排序是怎么解决这个问题的呢?

    希尔排序的理念和梳排序的理念有点类似。在梳排序中,我们比较距离相差为step的两个元素来完成交换。在希尔排序中,我们的做法也是类似。我们在数组中每隔h取出数组中的元素,然后进行插入排序。当h=1时,则就是前面所写的插入排序了。

  • 代码

    // 6. 希尔排序
        public static void shellSort(int[] a, int n) {
            int h =1;
            while (h<n/3) {
                // 数组 1,4,13,40...
                h = h*3+1;
            }
            while (h>=1) {
                for (int i = h; i < n; i++) {
                    for(int j=i;j>=h&&a[j-h]>a[j];j-=h){
                        exc(a, j, j-h);
                    }
                }
                h/=3;
            }
        }
  • 分析

    是第一个突破时间复杂度O(n^2)的算法
    思路--计算步长,对每次分组进行直接插入排序,减小逆序度
    算法时间复杂度在插入排序和快速排序之间

快速排序

  • 动画演示

    quickSort

  • 原理

    快速排序使用了, Divide and Conquer (分治)策略,不断地把数组分为较大和较小的两个子序列,然后对每个子序列进行递归,直到不可再分。思路就是在拆分的同时进行排序归并排序不同。

  • 步骤:

    1. 挑选基准值:从数列中挑出一个元素,称为“基准”(pivot),

    2. 分割:重新排序数列,所有比基准值小的元素摆放在基准前面,所有比基准值大的元素摆在基准后面(与基准值相等的数可以到任何一边)。在这个分割结束之后,对基准值的排序就已经完成。

    3. 递归排序子序列:递归地将小于基准值元素的子序列和大于基准值元素的子序列排序。

    递归到最底部的判断条件是数列的大小是零或一,此时该数列显然已经有序。

  • 代码

    // 第一部分
        public static int partition(int[] a,int l,int h) {
            int mid = l+((h-l)>>1);
            int pivot = a[mid];
            exc(a, l, mid);
            int i = l;
            int j = h+1;
            while (true) {
                while (a[++i]<pivot) {
                    if(i==h) break;
                }
                while (a[--j]>pivot) {
                    if(j==l) break;
                }
                if (i>=j) {
                    break;
                }
                exc(a, i, j);
            }
            exc(a, l, j);
            return j;
        }
        public static void quickSort(int[] a, int n) {
            quickSort(a, 0, n-1);
    
        }
        // 第二部分
        public static void quickSort(int[] a, int lo, int h) {
            if (lo>=h) {
                return;
            }
            int j = partition(a, lo, h);
            quickSort(a, lo, j-1);
            quickSort(a, j+1, h);
        }
  • 分析

    快速排序的最坏时间复杂度为O(n^2),平均时间复杂度为 O(n logn),快速排序基本上被认为是比较排序算法中,平均性能最好的。多种语言皆实现了快速排序的类库。

归并排序

  • 动画演示

    mergeSort

  • 原理

    采用分治法:

    • 分割:递归地把当前序列平均分割成两半。
    • 集成:在保持元素顺序的同时将上一步得到的子序列集成到一起(归并)。
    • 与快速排序不同的是,归并是拆分完成后,在合并阶段进行排序,而快速排序 是边拆分边排序
  • 代码

    // 第一部分 合并
        public static void merge(int[] a, int low, int mid, int high) {
            // 第一种写法
            int i = low;
            int j = mid + 1;
            int k = 0;
            int[] a2 = new int[high - low + 1];
            while (i <= mid && j <= high) {
                if (a[i] < a[j]) {
                    a2[k] = a[i];
                    i++;
                    k++;
                } else {
                    a2[k] = a[j];
                    j++;
                    k++;
                }
            }
            while (i <= mid) {
                a2[k] = a[i];
                i++;
                k++;
            }
            while (j <= high) {
                a2[k] = a[j];
                j++;
                k++;
            }
            for (k = 0, i = low; i <= high; k++, i++) {
                a[i] = a2[k];
            }
        }
    
    public static void mergeSort(int[] a, int n) {
            mergeSort(a, 0, n - 1);
        }
    // 第二部分 递归
    public static void mergeSort(int[] a, int low, int high) {
            if (low >= high)
                return;
            int mid = (high + low) / 2;
            mergeSort(a, low, mid);
            mergeSort(a, mid + 1, high);
            merge(a, low, mid, high);
        }
  • 分析

    归并排序是一种稳定的且十分高效的排序。时间复杂度总是 O(nlogn),不论好坏,但缺点是,它不是原地排序,占用额外的空间,空间复杂度为 O(n)

堆排序

  • 动画演示

    heapSort

  • 原理

    堆排序是借助这一数据结构实现的排序

    heap

    我们利用大顶堆(堆顶元素最大)实现排序,在一个堆中,位置k的结点的父元素的位置是(k+1)/2-1,而它的两个子节点的位置分别是2k+12k+2,这样我们就可以通过计算数组的索引在树中上下移动。

    思路: 不断把堆顶的元素与最后的元素交换位置,重新堆化,不断得到第k(=1,2,3...)大的元素。相当于一个将大的元素 sink(下沉) 的过程。

  • 代码

    // 建堆
    public static void buildHeap(int[] a, int n) {
            for (int i = n / 2; i >= 0; i--) {
                heapify(a, n - 1, i);
            }
        }
    // 堆化
    public static void heapify(int[] a, int n, int i) {
            while (true) {
                int maxPos = i;
                if (i * 2 + 1 <= n && a[i] < a[2 * i + 1]) {
                    maxPos = i * 2 + 1;
                }
                if (i * 2 + 2 <= n && a[maxPos] < a[i * 2 + 2]) {
                    maxPos = i * 2 + 2;
                }
                if (i == maxPos) {
                    break;
                }
                exc(a, i, maxPos);
                i = maxPos;
            }
        }
    
    public static void heapSort(int[] a, int n) {
            buildHeap(a, n);
            int k = n - 1;
            while (k > 0) {
                // 交换堆顶元素,把第1,2,3...大元素放到底部
                exc(a, 0, k);
                --k;
                heapify(a, k, 0);
            }
        }
  • 分析

    • 时间复杂度一直都是 O(nlogn),不论最好最坏情况。
    • 缺点:
      1. 不稳定算法
      2. 堆排序的每次排序其数组逆序度都比其他算法高
      3. 对内存访问不友好(不连续)

牺牲空间的线性排序算法

Θ(n)

计数排序

  • 动画演示

    countSort

  • 原理

    计数排序使用一个额外的数组C,其中 C 中第i个元素是待排序数组A中值等于i的元素的个数。然后根据数组C 来将A中的元素排到正确的位置。

    tips:当然,如果数据比较集中的话,我们大可不必创建那么大的数组,我们找出最小和最大的元素,以最小的元素作为基底以减小数组的大小。

  • 代码

    // 非比较排序
        public static void countSort(int[] a, int n) {
            int max = a[0];
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                if (a[i] > max) {
                    max = a[i];
                }
            }
            int[] c = new int[max + 1];
            int indexArray = 0;
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                c[a[i]]++;
            }
            for (int i = 0; i <= max; i++) {
                if (c[i] != 0) {
                    a[indexArray] = i;
                    c[i]--;
                    indexArray++;
                }
            }
        }

桶排序

  • 图片演示

    bucket

  • 原理

    桶排序的基本思想是假设数据在[min,max]之间均匀分布,其中min、max分别指数据中的最小值和最大值。那么将区间[min,max]等分成n份,这n个区间便称为n个桶。将数据加入对应的桶中,然后每个桶内单独排序。由于桶之间有大小关系,因此可以从大到小(或从小到大)将桶中元素放入到数组中。

  • 代码

    public static void bucketSort(int[] a, int n, int bucketSize) {
            int max = a[0];
            int min = a[1];
            for (int v : a) {
                if (v > max) {
                    max = v;
                } else if (v < min) {
                    min = v;
                }
            }
    
            // 桶的大小
            int bucketCount = (max - min) / bucketSize + 1;
            int bucket[][] = new int[bucketCount][bucketSize];
            int indexArr[] = new int[bucketCount];
            // 将数字放到对应的桶中
            for (int v : a) {
                int j = (v - min) / bucketSize;
                if (indexArr[j] == bucket[j].length) {
                    ensureCapacity(bucket, j);
                }
                bucket[j][indexArr[j]++] = v;
            }
            // 每个桶快排
        	// 也可以使用插入保证稳定性
            int k = 0;
            for (int i = 0; i < bucketCount; i++) {
                if (indexArr[i] == 0) {
                    continue;
                }
                quickSort(bucket[i], indexArr[i]);
                for (int j = 0; j < indexArr[i]; j++) {
                    a[k++] = bucket[i][j];
                }
            }
    
        }
    
        // 扩容函数
        private static void ensureCapacity(int[][] bucket, int j) {
            int[] tempArr = bucket[j];
            int[] newArr = new int[tempArr.length * 2];
            for (int k = 0; k < tempArr.length; k++) {
                newArr[k] = tempArr[k];
            }
            bucket[j] = newArr;
        }
  • 分析

    桶排序是线性排序的一种,桶排序的核心就是根据数据的范围 (m) ,把数据 (大小为n),尽可能均匀得放到 K个桶里,每个桶再各自实现排序,然后把桶从小到大的列出来,即完成排序。

    • 时间复杂度 O(N+C),其中C=N*(logN-logK),空间复杂度为 O(N+K)
    • 更适用于外部排序,尤其是当 N很大,而M较小时,比如高考排名,分数是固定的,从 0-750分,考生人数很多,用桶排序就能很快得出排名。

基数排序

  • 动画演示

    radixSort

  • 原理

    在日常的使用中,我们接触基数排序比较少,它也是桶排序的一种变形

    它的具体实现分为 LSD (Least sgnificant digital) , MSD (Most sgnificant digital) 两种方法,上面的演示是第一种(LSD),从低位到高位,根据每一位上的数字将元素放入桶中,再按顺序取出,直到比较完最高位,完成排序。

  • 代码

    /**
         * 
         * @param x  每一位上的值
         * @param d  第d位
         * @param dg 辅助数组
         * @return 对应的桶的标号
         */
        public static int getDigit(int x, int d, int[] dg) {
            return (x / dg[d - 1] % 10);
        }
    
        /**
         * 
         * @param a 待排序数组
         * @param n 数组长度
         */
        public static void radixSort(int[] a, int n) {
            // 最大的数
            int max = 0;
            int j = 0, i = 0;
            // 默认十进制
            final int radix = 10;
            for (int val : a) {
                if (val > max) {
                    max = val;
                }
            }
            // 求最大位数
            int N;
            if (max == 0) {
                N = 1;
            } else {
                N = (int) Math.log10(max) + 1;
            }
            // 设置辅助数组
            int dg[] = new int[N + 1];
            for (i = 1, dg[0] = 1; i < N + 1; i++) {
                dg[i] = 10 * dg[i - 1];
            }
            // 初始化桶
            int bucket[][] = new int[radix][n];
            int indexArr[] = new int[radix];
            for (int d = 1; d <= N; d++) {
                for (int var : a) {
                    j = getDigit(var, d, dg);
                    bucket[j][indexArr[j]++] = var;
                }
                int count = 0;
                for (i = 0; i < radix; i++) {
                    if (indexArr[i] != 0) {
                        for (int k = 0; k < indexArr[i]; k++) {
                            a[count++] = bucket[i][k];
                        }
                        indexArr[i] = 0;
                    }
                }
            }
        }
  • 分析

    时间复杂度为 O(k*n),空间复杂度为O(n),当处理较大(位数多)的数字排序时,比计数排序更好用。

综合分析

  1. 我们可以看出基于比较的排序算法,他的时间复杂度的最好上界是逼近 O(nlogn) 的,这是因为,比较排序可以看成是决策树,而数组共有 n! 种排列方式,根据 斯特林公式 比较排序的时间复杂度的最好上界是接近于 nlogn的

  2. 我们可以看出基于非比较排序的线性时间排序的思路,大致相同,都是找到与元素匹配的桶,完成排序。都是空间换时间的思想。

    文章最后,感谢大家的阅读,文中若有错漏之处,请在留言区积极指出,十分欢迎大家一起交流讨论!

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posted @ 2019-08-02 10:13  Mikejiawei  阅读(615)  评论(2编辑  收藏  举报