MIMO-OFDM无线通信技术与matlab实现 阅读笔记与勘误

第四章、第五章 OFDM技术

1. 关于子载波正交性与定时同步：

1.1 CP保持子载波的正交性

首先介绍一下子载波的正交性。
设一个OFDM符号的长度为\(T\)，接收的一个OFDM符号为\(x(t),0<t<T\)。第k个子载波承载的符号可以由下计算：

\[X(k) = \int_0^T{x(t)e^{j2\pi f_kt}}dt \]

加入长度为\(T_c\)的循环前缀后，\(x(t)=[x(T-Tc:T)\space x(0:T)]\)。定时偏差为\(t_0\)，第k个子载波承载的符号计算表达式如下。

\[X(k) = \int_{-T_c+t_0}^0{x(t)e^{j2\pi f_kt}}dt + \int_{0}^{T-Tc+t_0}{x(t)e^{j2\pi f_kt}}dt \]

如果存在一条具有不同时延的多径，则积分结果变为

\[\begin{align} X(k) &= \int_{-T_c+t_0}^0{x(t)e^{j2\pi f_kt}}dt + \int_{0}^{T-Tc+t_0}{x(t)e^{j2\pi f_kt}}dt \\ X_1(k) &= \int_{-T_c+t_0}^0{x(t-t_1)e^{j2\pi f_kt}}dt + \int_{0}^{T-Tc+t_0}{x(t-t_1)e^{j2\pi f_kt}}dt\\ \end{align} \]

容易注意到，\(X(k)==X_1(k)\)。也就是说，一个符号内的多径不会影响正交性。对应到离散域，在一个符号内做FFT变换，不会影响子载波的正交性。当然前提是采样点没有偏移或偏移整数个采样点的情况。如果是偏移了小数个采样点，那就会发生下文所述的时域STO。

1.2 ZP保持子载波正交性

在每个符号前，添加了ZP(zero pad/zero prefix)。收到的信号为多径信号，多径分量的最大延迟τ<ZP宽度。
在收到信号后，假定定时准确，也就是图中FFT窗所示。将下一个符号的ZP部分搬移到当前符号起始位置，也就是将图中FFT窗屁股后的ZP搬移到FFT窗开始位置。搬移后如下图所示。

注意，第一条径的下一个符号的ZP被叠加到符号起始位置，但因为叠加的是0分量，对符号没有影响，但是引入了噪声。
第二条径由于延迟，图中蓝色框a所示被添加到当前符号ZP的末尾，并在a之后的残留的下一个符号的ZP部分同样会引入噪声。第三条径同理。可以看到，如此操作之后，在FFT窗之内，第二条径和第三条径也是连续的，这样就避免了子载波的不正交性。
填充ZP的好处是降低了发射功率，可以将更多的功率用于发送信号，但坏处也是显而易见的，ZP被叠加到有用信号上时会带来噪声(浅灰色部分)。此外，由于需要准确定时，也增大了对同步的要求。

1.3 STO

时域STO对判决符号的影响：
\(y[n]=x[n+\delta]{\to}Y[k]=X[k]e^{j*2{\pi}k\delta /N}\)
如果偏移整数个采样点，则\(\delta\)为整数,\(e^{j*2{\pi}k\delta /N}=1\)，没有影响。因此这里的采样点偏移，考虑非整数个采样点偏移的情况。
可以看到，对于不同的子载波，相位偏移不同，星座图开转。这可以在频域均衡解决（不同的子载波补偿固定间隔的相偏）
定时偏差有四种：

• 精确定时：没有任何ISI和ICI；
• 当定时位置在前一个符号拖尾之后，到精确定时位置之前，没有任何ISI和ICI，但存在相位偏移，这可以通过频域单抽头均衡器解决；
• 如果定时位置在前一个符号拖尾之前，存在ISI和ICI，但由于延迟最高的径通常功率较低，对判决影响不算很大；
• 如果定时位置在精确定时位置之后，则存在下一个符号主径的ISI和ICI，且对判决影响很大。

3. CFO

\(y[n]=x[n]e^{j2\pi \epsilon n/N}{\to}Y[k]=X[k-\epsilon]\)，其中\(\epsilon = 频偏/子载波间隔=\Delta f / f_{sym}\)
当归一化频偏为整数时，接收符号为发送符号的循环移位，没有子载波干扰，但比特都错位了，BER会很高；当归一化频偏为小数时，会存在ICI。推导略。下图展示了归一化频偏为小数时的星座图变化情况，越来越差的主要来源是ICI。

4. 同步技术就不说了，看看书得了

5. 信道分配和蜂窝网络的同步策略

第三章、第九章 MIMO技术

1. MIMO信道容量

首先介绍一下MIMO系统模型：

\[\boldsymbol{y} = \sqrt{\frac{E_x}{N_{Tx}}}\boldsymbol{Hx}+\boldsymbol{z} \]

其中，\(E_x\)代表发射信号的总能量，z为噪声，服从为零均值循环对称复高斯分布。
在推导信道容量时，做出以下约定：发射信号的总功率保持不变，也就是\(E(\boldsymbol{x^Hx})=\sum{\left|{x_i}\right|^2}=N_{Tx}\)
关于\(E(\boldsymbol{x^Hx})\)与\(E_x\)的区别，我的理解是，\(E(\boldsymbol{x^Hx})\)可以看作是数字端可调控的功率，而\(E_x\)是真实地发送出去的功率，取决于射频前端的功放和天线增益。下文所谈功率，不特别指明时，均指前者。
然后信道容量的定义是互信息量的最大值。

发射端已知CSI的信道容量

死乞白赖推了一大堆后得到这么一个信道容量计算公式：

然后呢，说这个公式达到最大值的条件是要发送信号向量要满足互相之间独立且各自满足高斯分布，发送信号总功率Tr(Rxx)也要约束一下。
公式约束后的变量就是不同天线的功率分配了，不过最优解不好求解。由于发送端有CSI的先验知识，那么可以在发端和收端针对CSI做一些处理。也就是对信道矩阵H做SVD分解，把一个MIMO信道拆分成了r个SISO信道的叠加来分析如何进行功率分配达到信道容量。r是信道矩阵的秩，简单来理解就是信道矩阵有效方程的个数。
分解过程如下图所示。在发射端乘一个\(N_{Tx}\times N_{Tx}\)的酉矩阵V后发出去，接收端再乘一个\(N_{Rx}\times N_{Rx}\)的酉矩阵U，然后就把等效信道矩阵分解成了对角矩阵。

这个对角阵不是方阵，对角线有r个非零元素，记为\(\sqrt{\lambda_i}\)，别的地方都是0。然后就可以拆分为r个虚拟的SISO信道了。

那么，这个MIMO信道的容量就是r个SISO信道容量的和，再附加上总功率约束，列出来的约束方程就是下边的式子：

式中，\(\gamma_i = E\{\left|x_i\right|^2\}\)代表每个SISO信道分配的功率。\(\sqrt{\lambda_i}\)是对角矩阵的对角元素，也就是虚拟信道的增益。
这个式子酷酷解了半天，得到了让式子最大的功率分配方案，结果就是给信道增益大的多分配点功率，给信道增益小的少分配点功率，就能达到信道容量。

发射端未知CSI的信道容量

未知CSI，但H是一个固定值，只不过不能借助先验知识来做SVD分解。这样子，只能给每个天线分配相同的功率，发送信号的互相关矩阵为单位阵。得到：

尽管如此，仍然可以进行SVD分解，毕竟我们只是不知道H，无法先验分解，而H是真实存在的，理论上存在一个分解值。分解后，信道容量表示为下式。

做进一步的假设，假设信道总增益为固定值，且发射天线等于接收天线，而且信道矩阵H满秩。在这个前提条件下，如果所有SISO信道的增益相同，此时MIMO信道容量是SISO信道容量的N倍，而且信道容量最大。此时虚拟的SISO信道是正交的，因为信道矩阵是正交矩阵。推导如下。

SIMO与MISO信道容量

SIMO：对于单发射天线，无所谓功率分配方式，因此CSI已知还是未知都不影响信道容量。代入\(N_{Tx}=1,H\)为列向量，可以得到其信道容量为

\[C_{SIMO}=\log_2{(1+\frac{E_x}{N_0}\Vert H \Vert_F^2)} \]

如果所有的信道增益系数都是1，那么\(\Vert H \Vert_F^2 = N_{Rx}\)

\[C_{SIMO}=\log_2{(1+\frac{E_x}{N_0}N_{Rx})} \]

可以看到，增加接收天线可以提高信道容量。
MISO：多发射，单接收，存在功率分配方式的不同，因此CSI是否已知有影响。当CSI未知时，信道容量公式为

\[C=\sum_{i=1}^{r}{\log_2{(1+\frac{E_x}{N_{Tx}N_0}\lambda_i)}} \]

代入r=1,得到

上面说的\(\boldsymbol{h^H}/{\Vert} \boldsymbol{h} {\Vert}\)其实就是上文SVD分解后求解的注水算法结果。给SNR大的分配更多功率。

第六章 信道估计