有符号数乘法

最近在进行一些定点化设计仿真，对于二进制乘法，之前只是粗略的考虑了位数问题，没有细节思考乘法过程。刚刚思考了一下，给出解答。为了方便说明，会附带一些伪Verilog代码，希望读者不要挑毛病。
对于有符号数，通常有三种表示方法：原码、反码、补码。设计运算器时只用补码。
1. 补码

设一个N位二进制数x[N-1:0]其有符号形式的物理值（数学运算带入的值）为

\[x=-x[N-1]2^{N-1}+x[N-2]2^{N-2}+...+x[0]2^0 \]

这里唯一需要注意的是，最高位作为符号位，其位权为负，其余为正。
比如，
\(011=-0*2^2+1*2^1+1*2^0=+3\)；
\(111=-1*2^2+1*2^1+1*2^0=-1\)

2. 原码

无符号数：

\[x=x[N-1]2^{N-1}+x[N-2]2^{N-2}+...+x[0]2^0 \]

有符号数：
符号位决定正负，后边为那个数的绝对值.比如，-3=111，第一个1代表负号，后边的11为3

\[x=(正或负，由符号位决定)x[N-2]2^{N-2}+...+x[0]2^0 \]

3. 符号位扩展：
对一个补码形式有符号数进行符号位扩展，其值不变。举个例子，11000=1000
4. 补码加法
对两个位宽不相等的有符号数进行加法运算，需要进行符号位扩展
如 \(a=5'b10011,b=3'b101\)，二者都是补码形式，对应的十进制为\(-13\)和\(-3\). 在二者做加法时，先把二者都扩展为6位有符号数，即\(a=6'b110011,b=6'b111101\),然后运用二进制加法，结果为6位。

\[\begin{array}{rrrrrr} & 1& 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ + & 1& 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\]

运算结果按照补码解释，结果为\(-2^5+2^4=-16\)，结果正确。这里其实可以注意到，\(10000\)表示的也是\(-16\)，运算结果进行了符号位扩展，这样是为了避免溢出。
5. 补码乘法
还拿之前的例子，3位数乘5位数.这里先给出计算过程以及运算方法，随后介绍这么做的原理，不关心原理的同学可以只看计算过程。

\[\begin{array}{rrrrrrrrr} & & & & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ \times & & & & & & 1 & 0 & 1 \\ \hline & \textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{1} & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ & \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \\ & \textcolor{red}0 & \textcolor{#0f00f0}0 & \textcolor{#0f00f0}1 & \textcolor{#0f00f0}1 & \textcolor{#0f00f0}0 & \textcolor{#0f00f0}1 \\ \hline 1 & 0 &0 &1 &0 &0 &1 &1 &1 \end{array}\]

抹去进位的第一个数字，剩余为\(00100111\)看作补码，为\(39\)，恰好是\(-13 \times -3 = 39\)

·计算方法：将b的每一位与a相乘，结果为补码形式，扩展符号位到总共8位宽度。最后一行蓝色部分比较特殊，如果b的符号位为1，则将乘之后的结果10011扩展一位符号位，然后全部取反后加一，写在最下边，否则就直接全部写0即可。运算结果截断为(5+3)=8位,就是最终结果。

1. 我们这里直接截断而不考虑溢出，是因为我们可以通过补码的表示范围判断出，N位有符号数乘以M位有符号数时，结果取N+M位时一定不会溢出。
2. 注意最后一行必须先扩展符号位再全部取反加一，原因同样在于补码的表示范围正数比负数少一个，比如5位符号数，-16的相反数是16，但16需要6位才能表示。

·原理：

对于补码，\(2^N*B=\{B,N\{0\}\}\).也就是向左移N位相当于乘2^N.比如，\(11=-1,110=-2,1100=-2*2=-4.\)
对于有符号数乘法，

\[A*B=(-A_{N-1}2^{N-1}+A_{N-2}2^{N-2}+...+A_02^0)*B \]

可以把乘法拆分为N个补码加法运算，竖式的每一行，就是一个加数(称为部分积)。

\[\begin{array}{rrrrrrrrrr} & & & & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & \textcolor{#B0C4DE}{B} \\ \times & & & & & & 1 & 0 & 1 & \textcolor{#B0C4DE}{A}\\ \hline & \textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{1} & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & \textcolor{#B0C4DE}{A_02^0B} \\ & \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & & \textcolor{#B0C4DE}{A_12^1B}\\ & \textcolor{red}0 & \textcolor{#0f00f0}0 & \textcolor{#0f00f0}1 & \textcolor{#0f00f0}1 & \textcolor{#0f00f0}0 & \textcolor{#0f00f0}1 & & & \textcolor{#B0C4DE}{-A_22^2B}\\ \hline 1 & 0 &0 &1 &0 &0 &1 &1 &1 \end{array}\]

可以看到，前N-1行分别是\(A_{n}2^{n}*B, n=0,1,2...,N-2\).竖式中每一行都左移一位，因为2的幂次在逐次升高。对于最后一行，部分积是\(-A_{N-1}2^{N-1}*B\).因此在计算得出\(A_{N-1}2^{N-1}*B\)后，需要取相反数。如果A是负数，那么\(A_{N-1}=1\)，部分积不为0，补码的相反数就是各位按位取反再加1；如果A是正数，那么其符号位\(A_{N-1}=0\)，部分积是0，取相反数仍然是0，补码的0只有一种表示方法，不需要改动。这就是乘法的竖式中蓝色部分来源。求出全部的部分积后进行求和，由于不同行的位宽不同，因此需要扩展符号位到统一的宽度，也就是竖式中的红色部分，然后进行加法运算，得到最终结果。
参考链接：
https://www.zhihu.com/question/309627605
有符号数乘法运算