莱斯信道的推导以及如何仿真

先介绍一下带通信号及其复包络的等效表示：

基础过关的可以跳过这一部分。我的基础过关，因此不介绍了

对于存在视距分量的莱斯信道，做如下假设/规定：

• 对于视距时延，假定为解调端同步于视距，则视距相对时延定为0，其余多径时延为相对视距时延的差值。
• 视距的多普勒频移也假定为0，频移在后续解调时加入

基于上述两点，可以定义出存在视距的莱斯信道窄带平坦衰落模型

对于一个发送信号$x(t)=re\{x_L(t)e^{j{\omega }_{c}t}\}=x_I(t)\cos {\omega }_{c}t-x_Q(t)\sin {\omega }_{c}t$.
其中，$x_L(t)=x_I(t)+j{x}_Q(t)$

假定有N条散射、绕射分量，一条直射分量，并且延迟以接收端的直射分量为基准，这里很重要，不然你会陷入为什么没有虚部的困扰。那么接收信号可表示为

$$\begin{array}{rl}y(t)& =\sum _{i=0}^{N-1}{C}_{i}x(t-{\tau }_i,{\varphi }_i)+C_{N}x(t)\\ & =\sum _{i=0}^{N-1}re\{C_i{x}_L(t-{\tau }_i)e^{j({\omega }_c+{\omega }_d)(t-{\tau }_i)}\}+C_{N}re\{x_L(t)e^{j{\omega }_{c}t}\}\\ & =re\{y_L(t)e^{j{\omega }_{c}t}\}\\ \text{(1)}& & =y_I(t)cos-y_Q(t)sin\end{array}$$

仿真的关键是获得$y_I(t)$和$y_Q(t)$怎么表示。

$$y_L(t)=\sum _{i=0}^{N-1}\{C_i{x}_L(t-{\tau }_i)e^{j{\omega }_d(t-{\tau }_i)-{\omega }_c{\tau }_i}\}+C_N{x}_L(t)$$

对于窄带衰落，时延扩展很小，也就是$x(t-{\tau }_i)\approx x(t)$.注意由于载频很大，导致微弱的时延对相位影响很大，$e^{j{\omega }_d(t-{\tau }_i)-{\omega }_c{\tau }_i}$不可近似。上式可重新写作

$$\begin{array}{}\text{(2)}& y_L(t)=[\sum _{i=0}^{N-1}\{C_i{e}^{j{\omega }_d(t-{\tau }_i)-{\omega }_c{\tau }_i}\}+C_N]x_L(t)\end{array}$$

由此可得到信道的作用效果

$$\begin{array}{rl}{h}_L(t)& =\sum _{i=0}^{N-1}\{C_i{e}^{j{\omega }_d(t-{\tau }_i)-{\omega }_c{\tau }_i}\}+C_N\\ \text{(3)}& & =h_I(t)+j{h}_Q(t)\end{array}$$

实部为$h_I(t)=re\{h_L(t)\}=\sum _{i=0}^{N-1}{C}_i\cos \{{\omega }_d(t-{\tau }_i)-{\omega }_c{\tau }_i\}+C_N$
虚部为$h_Q(t)=im\{h_L(t)\}=\sum _{i=0}^{N-1}{C}_i\sin \{{\omega }_d(t-{\tau }_i)-{\omega }_c{\tau }_i\}$
由于中心极限定理，再加上一串概率论推导，可以推得那一串求和服从零均值的高斯分布，并且I路和Q路独立。
也就是$y_L(t)=y_I(t)+j{y}_Q(t)=[h_I(t)+j{H}_Q(t)][x_I(t)+j{x}_Q(t)]$
matlab仿真代码：

copy
len=300;k=10;
x=randi([0,1],len,1);
x=pskmod(x,4);
h=sqrt(k/(k+1))+sqrt(1/(k+1))*sqrt(0.5)*(randn(1,len)+1j*randn(1,len));%式(3)
y=h.*x;%式(2)
%如果要上载频，则继续往下写
y1=real(y).*cos(2*pi*fc.*t)-imag(y).*sin(2*pi*fc.*t)%式(1)
%如果加噪声，就继续往下写
snr=10;%dB
y1_awgn=awgn(y1,snr,'measured');