莱斯信道的推导以及如何仿真

先介绍一下带通信号及其复包络的等效表示：

基础过关的可以跳过这一部分。我的基础过关，因此不介绍了

对于存在视距分量的莱斯信道，做如下假设/规定：

• 对于视距时延，假定为解调端同步于视距，则视距相对时延定为0，其余多径时延为相对视距时延的差值。
• 视距的多普勒频移也假定为0，频移在后续解调时加入

基于上述两点，可以定义出存在视距的莱斯信道窄带平坦衰落模型

对于一个发送信号\(x(t)=re\{x_L(t)e^{j\omega_ct}\}=x_I(t)\cos{\omega_ct}-x_Q(t)\sin{\omega_ct}\).
其中，\(x_L(t)=x_I(t)+jx_Q(t)\)

假定有N条散射、绕射分量，一条直射分量，并且延迟以接收端的直射分量为基准，这里很重要，不然你会陷入为什么没有虚部的困扰。那么接收信号可表示为

\[\begin{align}y(t)&=\sum_{i=0}^{N-1}{C_ix(t-\tau_i,\phi_i)}+C_Nx(t)\notag\\ &=\sum_{i=0}^{N-1}re{\{C_ix_L(t-\tau_i)e^{j(\omega_c+\omega_d)(t-\tau_i)}\}}+C_Nre\{x_L(t)e^{j\omega_ct}\}\notag\\ &=re\{y_L(t)e^{j\omega_c t}\}\notag\\ &=y_I(t)cos-y_Q(t)sin\tag{1}\end{align}\]

仿真的关键是获得\(y_I(t)\)和\(y_Q(t)\)怎么表示。

\[y_L(t)=\sum_{i=0}^{N-1}\{C_ix_L(t-\tau_i)e^{j\omega_d(t-\tau_i)-\omega_c\tau_i}\}+C_Nx_L(t) \]

对于窄带衰落，时延扩展很小，也就是\(x(t-\tau_i)\approx x(t)\).注意由于载频很大，导致微弱的时延对相位影响很大，\(e^{j\omega_d(t-\tau_i)-\omega_c\tau_i}\)不可近似。上式可重新写作

\[y_L(t)=[\sum_{i=0}^{N-1}\{C_ie^{j\omega_d(t-\tau_i)-\omega_c\tau_i}\}+C_N]x_L(t)\tag{2} \]

由此可得到信道的作用效果

\[\begin{align}h_L(t)&=\sum_{i=0}^{N-1}\{C_ie^{j\omega_d(t-\tau_i)-\omega_c\tau_i}\}+C_N\notag\\ &=h_I(t)+jh_Q(t)\tag{3}\end{align}\]

实部为\(h_I(t)=re\{h_L(t)\}=\sum_{i=0}^{N-1}C_i\cos{\{\omega_d(t-\tau_i)-\omega_c\tau_i\}}+C_N\)
虚部为\(h_Q(t)=im\{h_L(t)\}=\sum_{i=0}^{N-1}C_i\sin{\{\omega_d(t-\tau_i)-\omega_c\tau_i\}}\)
由于中心极限定理，再加上一串概率论推导，可以推得那一串求和服从零均值的高斯分布，并且I路和Q路独立。
也就是\(y_L(t)=y_I(t)+jy_Q(t)=[h_I(t)+jH_Q(t)][x_I(t)+jx_Q(t)]\)
matlab仿真代码：

len=300;k=10;
x=randi([0,1],len,1);
x=pskmod(x,4);
h=sqrt(k/(k+1))+sqrt(1/(k+1))*sqrt(0.5)*(randn(1,len)+1j*randn(1,len));%式(3)
y=h.*x;%式(2)
%如果要上载频，则继续往下写
y1=real(y).*cos(2*pi*fc.*t)-imag(y).*sin(2*pi*fc.*t)%式(1)
%如果加噪声，就继续往下写
snr=10;%dB
y1_awgn=awgn(y1,snr,'measured');