使用matlab进行功率谱估计之-纠误：很多人喜欢用2/N来纠正fft的幅度值

先附上matlab官方文档对于使用fft进行功率谱估计的代码：

%创建一个含 N(0,1) 加性噪声的 100 Hz 正弦波信号。采样频率为 1 kHz。信号长度为 1000 个采样。
fs = 1000;
t = 0:1/fs:1-1/fs;
x = cos(2*pi*100*t) + randn(size(t));
%使用 fft 获取周期图。信号是偶数长度的实数值信号。由于信号是实数值信号，
%您只需要对正负频率之一进行功率估计。为了保持总功率不变，将同时在两组
%（正频率和负频率）中出现的所有频率乘以因子 2。零频率 (DC) 和奈奎斯特
%频率不会出现两次。绘制结果。
N = length(x);
xdft = fft(x);
xdft = xdft(1:N/2+1);
psdx = (1/(fs*N)) * abs(xdft).^2;
psdx(2:end-1) = 2*psdx(2:end-1);
freq = 0:fs/length(x):fs/2;

plot(freq,pow2db(psdx))
grid on
title("Periodogram Using FFT")
xlabel("Frequency (Hz)")
ylabel("Power/Frequency (dB/Hz)")

我们主要关心，在代码中是如何对DFT的值进行缩放的，并给出理论支撑。

1.功率谱密度定义

确知功率信号的功率为

\[P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{+T/2}{{\vert}X(j\Omega){\vert}^2d\Omega} \]

功率谱密度为

\[P(j\Omega)=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}{\vert}X(j\Omega){\vert}^2 \]

2.数字域与连续域傅里叶变换的关系

用\(\Omega\)表示连续域频率，\(\omega\)代表数字域频率.设x[n]=x(nT).则它们的傅里叶变换有如下关系：

等号右边是连续傅里叶变换，左边是离散傅里叶变换。
可以看到，在幅度上，DTFT有了一个采样频率的加权.注意，这里的T是采样周期，下文会用\(T_s\)代指。与1中所述信号持续时间T不是一个概念

3.DFT与DTFT关系

幅度没区别，看成DTFT的采样就行

4.分析代码

(1/(fs*N)) * abs(xdft).^2.首先对连续时间信号采样N个点，得到它的DFT，记为\(X(e^{j\omega})\)。对\(X(e^{j\omega})\)平方，幅度上变为\({\vert}X(j\Omega)\vert^2\)的\(1/T_s^2\)倍.

需要获得功率谱密度\(\frac{1}{T}{\vert}X(j\Omega){\vert}^2\)，其中\(T=T_s\cdot N\)(总共采样N个点，采样间隔为\(T_s\)，\(T\)为信号持续时间长度).为此，先除以一个\(f_s\)，相当于乘\(T_s\)消去一个\(T_s\)，再除以N，此时就得到了\(\frac{1}{T}{\vert}X(j\Omega){\vert}^2\)

后注

为什么FFT变换后的幅值感觉不对？ 请看一下问题出在哪里（matlab环境）。

百度一下，如何获得FFT的真实值，很多人会说，fft的结果乘2/N，得到所谓的“真实幅度值”.论证方法就是，产生一个正弦信号，进行fft，发现幅度值很大，然后除以N，发现合理了.
这里有两个问题，一是通常没有人给出合理的理论支撑，个人对其正确性和有用性持怀疑态度。
正弦信号的FT是冲激函数，本身幅度值就是无穷大，冲激强度是面积大小。你非得给人家幅度值归一化到1，如果不是周期信号呢？频谱没有冲激函数，你怎么办？还这么归一化吗？而且这么归一化后会导致帕斯瓦尔定理不能用，可能唯一的用途就是分辨一下周期信号的幅度了。