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| 关注什么点 |
就是 到底有哪几个线索 是你所模糊的
关于方程解的个数
关于是否可逆
关于是否可以对角化
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summary 判别式
是否能对角化
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看来两个条件：
要么是 对称阵
要么是 特征值均不相同的方阵
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summary 判别式
能否可逆
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要么 det >0
要么 满秩
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| 可逆矩阵 | 一定是方阵 |
| 正定矩阵 |
一定是对称阵，对称阵一定是方阵
正定矩阵一定有 N 个非零特征值，即满秩，所以可逆
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| 正定矩阵 |
看英文名字才好理解
positive definite
definite 是确定的 概念
确定为正，即 一定的 正，即 每一个 特征值 都为正
但是 这么一翻译过来就 没这感觉了
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| 矩阵间的关系 |
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| 矩阵分解的种类 |
特征分解
谱分解 #基于特征分解，但是 与 特征分解的结果又完全不同
奇异值分解
QR分解等等
但是 特征分解（Eigen decomposition），又称谱分解（Spectral decomposition）
是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法，但是两者的分解 结果形式完全不同，一个是乘积一个是加和
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| 矩阵的特征分解 |
前提，必须是可对角化的矩阵，
即或者是 对称矩阵或者是各个特征值不相等的矩阵。即特征值的代数重数均为1
其基本思路是：
因为 A 可以对角化即：
P^-1·A·P = Q
那么，必有：
A = P·Q·P^-1
相当于 反过来倒是有一个 矩阵的等式【观点】
所以 定义这种方式为 矩阵的特征分解
矩阵的 SVD 分解，是矩阵的特征分解在任意矩阵上的推广
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| 谱分解 |
1. 概念什么是谱：就是特征值的集合。
2. 物理意义：
因为 矩阵的谱分解的形态不是 把矩阵分解为 A*B 等乘积的形式，而是分解为相加的形式
即
A = Σλi Ai #这是其亮点【观点】
而这里每一个元素 就像是 光谱的叠加，所以叫做 基于谱的分解
3. 矩阵的谱分解 和 矩阵特征分解 的关系
refer
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| 解释 |
A = PQP^-1
如何理解 这个 P，P^-1
先放过来，为 Q = P^-1 A P
即：一般的矩阵，只能保证 P 的各个列之间是线性无关，不一定正交
而只有 对称矩阵，正定矩阵，才能让 P 为 正交矩阵，此时 的 P^-1 = P^T 了
所以 才说 对称矩阵 可以 酉变换，即 用酉矩阵对角化
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| 酉矩阵 |
又称 幺正矩阵，即 正交矩阵在 复数上的扩展
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| 线性无关的直观理解 |
二维的 就是不共线
三维的 就是不共面，即两个合成一个，另外一个给抵消了
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| 程博士的讲课思路 |
引入了 四个子空间
讲解了 特征分解
讲解了 SVD
讲解了 PCA
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| 新的观点 |
Ax = b【观点】
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| 新的观点 |
Ax = λx
Ax 其实是对 x 在做旋转和伸缩 【观点】
而 对于A 的特征向量，A 对 x 没有做旋转只做了 伸缩
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| 新的观点 |
AB = C
A 叫做维度矩阵，B 叫做数据矩阵，C 就是 降维后的矩阵
A 在对 B 做降维
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| 四个子空间 |
关于 列空间，零空间，行空间，左零空间
对于 Ax = B，其中 A = [a1, a2, a3, ,,, an]， A = m*n
列空间 是的 矩阵每个列拼接的，所以维度 与 每个列维度相同，所以是 m 维度
零空间 就是 x 的维度，所以是 n 维度的
对于 N 维度的全空间而言，基的个数 和 基的维度一定相等
但是 全空间的子空间 不一定，即：虽然也是 m 维度的，但是 子空间只占一部分
矩阵 A 的列空间 是 R^m 的子空间
即：可能填不满
而 子空间也有基，即 列空间是一个 m维全空间的子空间，其 的 各个列如果线性无关将会组成 该子空间的一组基
即：仅仅是 方程组的这些列 尚不足以构成 全空间的基
但是还有 左零空间，左零空间的基 一定与 列空间的 基 正交
两者合并 构成了完整的 m维度的全空间
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| 列空间与全空间的关系 |
【观点】 就是 全空间的一个子集，一部分空间而已
子空间只能 撑开一个 低维度的空间
列空间的 属性是 子空间
列空间 强调的 是空间
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| 高维空间的补 |
空间的补充与拼接，只能在 维度上 垂直着的补，而不是 斜着补
列空间本身也有基，即子空间的基
认识一个概念 高维空间 之间的垂直
即：列空间这个空间中的 任意拿出的一个向量 与 left null space 中的 任意拿出的一个向量
都是相互垂直的，这个是 整个空间的垂直
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| 新的观点 |
列空间的 秩 是 列空间这个子空间 占整个全空间的 筹码
比如 列空间是维度是 10，它的秩是 6，那么列空间就站 全空间的 60%
列空间基的个数 等于其rank ，这就是 重新认识 秩的概念
秩相当于该 子空间在 全空间的 占比
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| 如何使用这四个子空间 |
1. 判断方程组是否有解
2. SVD 的解释
3. 依据 SVD 直接 给出 方程组的解
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| 新的观点 |
Ax = b
如果 b ∈ C(A)，那么方程组有解
如果 b ∉ C(A)，那么方程组无解
当方程组有解，如果 A 的零空间基为零，即维度为0，那么唯一解
如果大于0，那么无穷多解
这个的用法 主要是 解释 以前给你的判断 有解无解 的公式 依据，一种思考角度，即：
rank([A b]) = rank(A) 说明 b ∈C(A)，那么 一定有解，即在看 b 是否属于 C(A)
n - rank R(A) 如果为0，那么唯一解，否则无穷多解， 即在看 零空间的维度，此时即 满秩矩阵
矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩
所以 上面的 rank R(A) 可以写为 rank A
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| 借助 SVD 求 方程组的解 |
对 A SVD 拿到它的 V2
然后通过 取特殊值，得到一个 特解 p
然后 x = p + v2 · Φ
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| 几何重数 和 代数重数 |
这两个都是 特征值的属性，即 矩阵的特征方程多项式分解后，每个 特征值的 指数为代数重数
每个特征值对应的线性无关向量的个数为 几何重数
如果 代数重数 均为1，那么 一定可以 对角化
几何重数 小于等于 对应的代数重数
refer
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| 数学的抽象性 |
抽象 的概念就是 难理解，不好掌握，掌握了也忘了，不知道其 需求来源
即：在于 没有用处，当知道怎么用。。。就有体会了
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| 听课前的困惑 |
方程组的解的判定，基础解系 ？貌似与 秩有关 ？？？？
互相不等 特征值
线性无关特征向量
特征值的个数
秩 和 特征值的 关系
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